Созерцание великого фрактального подобия
(с) «Галактика галактик»
Фракталы — не просто красивое природное явление. Согласно проведенным исследованиям, рассматривание фрактальных структур на 60 % повышает стрессоустойчивость, измеряемую на основе физиологических показателей. При созерцании фракталов в лобной коре головного мозга всего за одну минуту увеличивается активность альфа-волн — как во время медитации или при ощущении легкой сонливости.
Неудивительно, что фрактальный биодизайн оказывает на человека умиротворяющее воздействие. Нам нравится смотреть на облака, на языки пламени в камине, на листву в парке… Как это работает? Ученые предполагают, что естественный ход поисковых движений наших глаз — фрактальный. При совпадении размерности траектории движения глаз и фрактального объекта мы впадаем в состояние физиологического резонанса, за счет чего активизируется деятельность определенных участков мозга.
Но не все фракталы одинаково полезны. В данной статье расскажем о фрактальной размерности и о её влиянии на здоровье.
Биофракталы
(с)
Примеры фракталов в природе встречаются повсеместно: от ракушек до сосновых шишек. Каждый фрактал имеет математическую размерность D. Для человека наиболее полезны фракталы с размерностью 1,3—1,5, и большинство фрактальных объектов, созданных природой, имеют именно такую размерность. А глаз человека эстетически «настроен» на восприятие как раз таких, встречающихся в природе фракталов.
Прекрасным примером фракталов в природе являются деревья. Фракталы можно обнаружить на каждом уровне лесной экосистемы — от семян и сосновых шишек до ветвей и листьев. На иллюстрации выше запечатлена «застенчивая крона» — явление, когда кроны деревьев не соприкасаются, формируя локальные участки лесного полога.
С биологической точки зрения такое расположение крон объясняется естественным отбором — листья расположены как можно дальше друг от друга, чтобы максимизировать доступ к ресурсам, особенно к солнечному свету для фотосинтеза.
Итальянская капуста романеско имеет сверхэффективную конструкцию, позволяющую максимизировать воздействие солнечного света и транспортировать питательные вещества по всей клеточной структуре растения.
Однако размерность этой капусты — 2,66. Вообще, дробная размерность является ключевой особенностью фракталов. При этом большинство из них находится в плоскости между линией (размерность 1) и двухмерной поверхностью (размерность 2). Чем выше показатель, тем больше движение в сторону трехмерных объектов (размерность 3).
Компьютерные игры
Трехмерные фракталы — одни из самых редких в природе. Гораздо проще встретить их в виртуальной реальности. Например, в игре Marble Marcher — уникальной аркаде, где нужно прокатить шар к цели в пространстве, созданном единым всеобъемлющим алгоритмом. Практически все, что вы увидите в игре, создано не дизайнерами, а чистой математикой.
Yedoma Globula — это 3D-песочница на самописном движке, в которой можно исследовать процедурно создаваемые фрактальные ландшафты.
Фрактальные формулы можно использовать в компьютерной графике для создания реалистичных гор, рек, лесов и облаков. Игра Everything пошла гораздо дальше: в ней помимо визуальной составляющей в системообразующей части геймплея использовано фрактальное подобие. Тут фактически нет NPC-персонажей. Вы можете начать игру в образе свиньи, которая бродит по зеленым склонам и встречает дуб, а затем стать дубом, который отправится в самостоятельное путешествие.
Гаджеты
Использовать фракталы как «что-то полезное» можно не только в компьютерных играх или для релаксации. Именно фракталы подсказали способ уменьшения размера антенн для сотовых телефонов. Фрактальная геометрия расширяет способность создавать новые, более практичные устройства.
Сейчас фракталы используются в новом поколении спутниковой связи, в устройствах IoT и других проектах приема, передачи и преобразования радиоволн.
Архитектура
Фракталы можно использовать даже неосознанно. На фото выше изображен фрагмент купола иранской мечети. А здесь вы найдете множество фотографий потолков школ, культурных и религиозных сооружений в Иране, которые демонстрируют невероятно сложные фрактальные рельефы и мозаики, декорирующие изысканные архитектурные элементы.
Храм Деви Джагадамби в Кхаджурахо — отличный пример фрактальной архитектуры. Индийские и многие другие храмы Юго-Восточной Азии имеют фрактальную структуру: главная башня окружена башнями меньшего размера, те в свою очередь — еще более маленькими башнями. И так до восьми (а порой и больше) уровней, представляющих различные аспекты индуистского мифологического пантеона.
Фракталы в архитектуре — не уникальное изобретение одной части света. Сложное убранство готической, ренессансной и барочной архитектуры, особенно выраженное в соборах, часто демонстрирует фрактальное копирование и масштабирование на нескольких уровнях. Характерное для европейской архитектуры с конца XII в. переплетение арок скорее имело не эстетическое, а практическое значение: оно было разработано для укрепления окон и стен против давления ветра.
С конца XX века фрактальную геометрию использовали осознанно для создания интересных и приятных глазу фасадов. На фото — здание одного из самых сложных в архитектурном плане комплексов, расположенное в мельбурнском городском районе (Австралия). В комплексе объединены культурные, рекреационные и коммерческие проекты.
Опасные фракталы
Большинство фрактальных изображений, генерируемых математическими, естественными и человеческими процессами, обладают общим эстетическим качеством, основанным на визуальной сложности. Участники тестов визуального восприятия предпочитают фракталы именно естественного происхождения с размерностью 1,3—1,5. Для примера: волны и облака имеют размерность 1,3, береговая линия — 1,05.
А что, если увеличить размерность? Получившийся объект не всегда будет приятно разглядывать. На иллюстрации выше изображена картина распределения электрического разряда с размерностью 1,75, известная как фигура Лихтенберга, созданная высоковольтным электрическим разрядом на непроводящем материале.
Еще один отталкивающий объект — фрактальный продукт кристаллических структур с размерностью 1,8, сфотографированный через микроскоп.
Демосцена & софт
Пожалуй, нигде так красочно не исследовали мир фракталов, как в демосцене. Hartverdrahtet — достойный победитель конкурса демосцены 2012 года по 4-килобайтным файлам. Автор, Demoscene Passivist, говорит, что для создания демо с процедурно генерируемыми фрактальными ландшафтами потребовалось около двух месяцев.
А вот один из лучших проектов с фрактальными эффектами в демосцене. К сожалению, качество демонстрационного видео крайне плохое (из-за давности лет), но демо можно скачать и запустить на компьютере.
Для создания подобных или других фрактальных миров особых ухищрений не требуется. Есть несколько отличных программ, с помощью которых вы сможете самостоятельно изучать особенности фрактальной вселенной.
XaoS Open Source Project. Бесплатный, открытый, кроссплатформенный инструмент для масштабирования и изучения множества Мандельброта и десятков других фракталов.
JWildfire. Еще одна кроссплатформенная (в том числе с мобильной версией) программа, основанная на Java с открытым исходным кодом, для обработки изображений. Она известна в основном своим сложным генератором пламенных фракталов.
Mandelbulber | Mandelbulb3D. Превосходные бесплатные инструменты для создания трехмерных фракталов, таких как устрашающая Оболочка Мандельброта, загадочная «коробка» Мандельбокс и др. Mandelbulber несколько более функционален и быстр, но Mandelbulb3D чуть проще в использовании.
По ссылке вы найдете множество других программ.
Источник
Что такое фрактальное подобие?
Фрактальное подобие — это повторяемость особого качества, это подобие, проходящее сквозь масштабы, — трансмасштабное подобие.
Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами.
Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных недифференцируемых функций (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры.
Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:
Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину.
Является самоподобным или приближённо самоподобным.
Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.
Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система, система альвеол человека или животных.
Источник
Фрактальное подобие во вселенной. Галактики, Солнечные системы, Атомы
Фракталы — это паттерны или простыми словами узоры, которые повторяются во все меньших масштабах, то есть паттерн в макромире повторяется в микромире.
Например: галактика — это вращающаяся масса звезд вокруг центрального ядра. Тот же образец можно увидеть в меньшем масштабе в солнечной системе с ее планетами, вращающимися вокруг центрального солнца. Ту же картину можно увидеть на субатомном уровне с электронами, вращающимися вокруг ядра атома.
Итак, как это относится к семи планам? Мы уже знаем, что у каждого из семи планов есть семь подпланов, но масштаб также увеличивается по величине. Семь планов, о которых мы говорили в прошлой статье , на самом деле эквивалентны семи подпланам еще большей серии планов, называемых космическими планами. Семь планов нашей солнечной системы являются частью космического физического плана (низшего космического плана).
На рисунке выше изображена организация 49 планов или, иначе говоря, плоскостей. В левой части диаграммы показаны семь космических планов, каждый со своими семью подпланами, составляющими сорок девять планов. Солнечные системы следуют той же схеме только в меньшем масштабе, который можно увидеть в правой части диаграммы. Семь солнечных планов были расширены, чтобы показать 49 подпланов. Вы заметите, что космическую систему нумерации от 1:1 до 7:7 можно легко спутать с солнечной системой нумерации от 1:1 до 7:7. По этой причине лучше избегать космической системы нумерации и придерживаться чисел от 1 до 49. Тогда числа от 1:1 до 7:7 зарезервированы для идентификации солнечных подпланов. Пять белых квадратов в крайнем правом углу рисунка показывают три плоскости, которые важны для людей. Эта тема будет обсуждаться позже.
Пустое место
Так называемое пустое «пространство» между галактиками (межгалактическое пространство) не является пустым, но в основном состоит из атомов с плоскости 49. 49-атомные потоки возникают (вселенная) из непроявленного мира отрицательного существования (мультивселенная). Поток атомов во Вселенную раздвигает галактики и заставляет Вселенную расширяться. 49 атомов объединяются в группы по 49, образуя 48 атомов, 48 атомов объединяются в группы по 49, образуя 47 атомов, и так далее. Спустя определенное время впервые появилась физическая материя плана 1 и проявилась видимая вселенная. Так называемое пустое пространство внутри галактик (межзвездное пространство) в основном состоит из тонкой материи от планов с 49 до 7. Атомы на плоскости 7 (являющиеся наиболее плотными) объединяются, чтобы сформировать семь планов солнечной системы и всю материю в ней.
В конце жизни вселенной вся материя медленно распадется на 49 атомов, а затем вернется в отрицательное существование, заставляя вселенную постепенно растворяться и сжиматься обратно в ничто. Процесс начнется снова, когда начнет формироваться следующая вселенная.
Предыдущая статья на эту тему — читать
Уважаемые читатели, если вам была интересна данная статья, то рекомендую ознакомиться с идеологией канала в целом и конечно же — подписаться на канал !
Источник
Фракталы. Удивительная природа. Просто о сложном.
Природа всегда поражала исследователей своей красотой и необычайностью своих изобретений. Фракталы — одно из чудес природы, о котором слышали немногие.
Снежинка Коха.
Начертим прямую линию (рис а). В середине этой линии построим равносторонний треугольник (рис б). Данная фигура будет нашим «генератором» или образцом.
Далее к (рис б). применим наш генератор, т.е. тот же рисунок, получим (рис в). К (рис в) опять применяем генератор и так далее до бесконечности. В итоге мы получаем фигуру, обладающую свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей).
Приближая отдельный участок, мы все равно получаем исходную фигуру и так продолжается до бесконечности. Такая фигура и будет называться Фракталом .
Фракталы — это не только математические или абстрактные фигуры, природа наделила свойствами фракталов множество реальных объектов. Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, система кровообращения, альвеолы.
Деревья в окне, так же ничто иное как фрактал, посмотрите на строение его ствола.
Это, конечно рисунок, но в идеале дерево бы получилось такое, если бы существовали идеальные условия вокруг. Ствол идя от корня, поднимается вверх, раздваиваться, образовывая наш «генератор», далее этот «генератор» применяется ко все более мелким и мелким участкам. Взяв любую отдельную часть дерева с рисунка, мы можем получить объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого.
Примеры из реального мира:
В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.
В Америке в одно время существовал запрет на установку внешних антенн на здания. Инженером Натан Коэн нашел выход из этого положения, сделав антенну в виде Кривой Коха. Он вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Он кстати основал свою компанию и наладил производство таких антенн.
Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Добиваясь очень правдоподобной реалистичностью и небольших объемов данных.
Говоря о фракталах, я просто обязан упомянуть о Множестве Мандельброта.
Множество Мандельброта является одним из самых известных фракталов, в том числе за пределами математики, благодаря своим цветным визуализациям. Его фрагменты не строго подобны исходному множеству, но при многократном увеличении определённые части всё больше похожи друг на друга.
Фракталы — необычное явление природы, имеющее огромный потенциал. И как всегда все сложное таиться в простых деталях.
Надеюсь было полезно и интересно.
Понравился материал? поставьте лайк- вам нетрудно, а мне приятно, так я буду понимать, что материал интересен и делать больше подобных выпусков.
Слева кнопки- можно поделится в соцсетях.
Больше интересного в других статьях.
Подписка — плюсик в вашу карму.
Источник
