Что значит найти множество значений неравенства

Основные методы решения неравенства.

Неравенством называется запись, в которой функции соединены знаком (или несколькими знаками) отношения «>», » g(x),

f(x) g(x), f(x) g(x) является всякое значение переменной x = a, при котором справедливо неравенство
f(a) > g(a), или функция f(x) при x = a принимает большее значение чем функция g(x).

Задание «решить неравенство» означает, что требуется найти множество всех его решений. Это множество может оказаться пустым — в случае, когда решений нет. Множество всех решений неравенства будем называть его ответом.

Неравенство В называется следствием неравенства А, если всякое решение А является решением неравенства В. В этом случае используется запись АВ. Два неравенства А и В называются равносильными (или эквивалентными пишем
АВ либо А

В), если их ответы совпадают. Если АВ и ВА, то неравенства А и В эквивалентны.

Запись нескольких неравенств под знаком фигурной скобки называется системой (число и вид неравенств, входящих в систему, может быть произвольным). Решение системы неравенств есть пересечение решений всех входящих в нее неравенств. Двойное неравенство f(x) 1.

Теперь, решаем систему неравенств:

Вторая система равносильна неравенству x 1 и x g(x) и h(x) — любая функция определенная в ОДЗ данного неравенства, то f(x) + h(x) > g(x) + h(x)

2. Если обе части неравенства умножить на положительную функцию, определенную в ОДЗ данного неравенства (или на положительное число), то получим неравенство, равносильное исходному неравенству:

если f(x) > g(x) и h(x) > 0, то f(x)h(x) > g(x)h(x)

3. Если обе части неравенства умножить на отрицательную функцию, определенную в ОДЗ данного неравенства (или на отрицательное число) и знак неравенства изменить на противоположный, то полученное неравенство эквивалентно данному неравенству:

если f(x) > g(x) и h(x) g(x) и m(x) > h(x), то f(x) + m(x) > g(x) + h(x).

5.Неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать если f(x) > g(x) и h(x) g(x) > 0 и m(x) > h(x) > 0 , то f(x) g(x) > m(x) h(x).

7. Неравенства, образованные неотрицательными функциями, можно почленно возводить в положительную степень:

если f(x) > g(x) > 0 и m > 0, то (f(x)) m > (g(x)) m .

Иногда, решая неравенство, приходится переходить к неравенству — следствию, т.е. выполнять неравносильное преобразование (как правило, связанные с расширением ОДЗ): заменить функцию f(x) — f(x) нулем, сократить неравенство f f(x)h

Пусть M – множество допустимых значений переменной х данного неравенства (ОДЗ). B – множество найденных решений неравенства. A множество решений данного неравенства. Тогда A = BM.

Пример 2 .Решить неравенство(1). .

Вычтем из обеих частей неравенства функциюполучим неравенство 3х > 9.

Разделим обе части полученного неравенства на положительное число 3 в результате получим x > 3 (2). Выполнив это преобразование, мы заменили неравенство (1) неравенством (2). Эти неравенства не равносильны.(1)(2).

M = (-; 8)(8; +)- ОДЗ неравенства (1).

B = (3; +) — это решение неравенства (2).

Найдем множество решений неравенства (1)

A = BM =((-; 8)(8; +)(3; +) = (3; 8)(8; +),

Ответ: x(3; 8)(8; +).

Метод интервалов часто используют при решения неравенств. Он позволяет свести решение неравенства f(x) > 0 ( ) к решению уравнения f(x) = 0.

Метод заключается в следующем:

1.Находится ОДЗ неравенства.

2.Неравенство приводится к виду f(x) > 0( ) (т.е. правая часть переносится влево) и упрощается.

3.Решается уравнение f(x) = 0.

4.На числовой оМетод интервалов часто используют при решения неравенств. Он позволяет свести решение неравенства f(x) > 0 (, (-5; +).

Пример 4. Решить неравенство

Используя свойство частного и определение квадратного корня делаем вывод, чтооткудаОДЗ: x(0; 1)(1; 7)(7; +)

На промежутке (0;1) возьмем точку 0,5;

На промежутке (1; 7) возьмем точку 4,

На промежутке (7; +) возьмем точку 9,

Расставим знаки на координатной прямой.

Таким образом, решением данного неравенства является множество чисел принадлежащих промежутку (0; 1)(1; 7)

Эти примеры наглядно демонстрируют, что промежутки знакопостоянства не обязательно чередуются, процесс определения знака на промежутке может оказаться довольно трудной задачей.

Полезно запомнить следующее.

Если функция представляет собой произведение нескольких не повторяющихся множителей, имеющих вид (ax + b), где a > 0, то знаки функции на промежутках справа на лево чередуются с «плюса» на «минус». Если какой-то множитель повторяется четное число раз, то при переходе через эту точку смены знака не происходит. В примере №4 Такой точкой была точка 1

Пример №5. Решить неравенство (2x — 6)(3x + 12)(5x + 1)

Источник

Решение неравенств в школьном курсе математики

Автор: Булякова Алия Рашитовна

Решение неравенств в школьном курсе математики

Решить неравенство – это значит найти множество его решений. Два неравенства называют равносильными, если их множества решений совпадают.

Областью допустимых значений (ОДЗ) неравенства называют общую часть (пересечение) областей определения функций, входящих в неравенство.

Множеством решений неравенства называют множество всех значений неизвестного х, при подстановке которых в неравенство получается верное числовое неравенство. Сами эти значения называют решениями неравенства.

Процесс решения неравенства – это цепочка равносильных переходов от исходного к такому неравенству, множество решений которого известно или легко может быть найдено.

Однако это не всегда удаётся сделать. В процессе неравносильных преобразований могут появиться как посторонние решения, так и может происходить потеря решений. Причём в отличие от уравнений, для неравенств всё обстоит значительно сложнее. Это будет показано в последующих примерах, которые будут рассмотрены в работе.

Поэтому при решении неравенств равносильные преобразования нужно выполнять аккуратно, следить за тем, чтобы не выйти за ОДЗ исходного неравенства или не потерять его часть.

Наиболее распространённые преобразования, приводящие к равносильным неравенствам (обратите внимание на связь этих утверждений со свойствами числовых неравенств):

1. Если к обеим частям неравенства прибавить одну и туже функцию, определённую на ОДЗ, то получим неравенство равносильное исходному.

2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одну и туже функцию, все значения которой в ОДЗ положительны (отрицательны), то получим неравенство, равносильное исходному (то изменив знак неравенства на противоположный, получим неравенство равносильное данному).

3. Если в обеих частях неравенства стоят функции, все значения которых в ОДЗ положительны, то возведя обе части неравенства в n -ю степень (извлекая корень n -й степени) получим неравенство равносильное исходному.

Это более простые («безопасные») ситуации, а теперь рассмотрим более «коварные» случаи.

4. Как и при решении уравнений, неприятности могут происходить в точках обращения в ноль общего множителя левой и правой части. Эти точки ОДЗ заслуживают отдельного рассмотрения. В случае строгих неравенств они не являются решениями, а в случае нестрогих неравенств такие значения являются решениями.

5. В отличии от уравнений, « коварными» являются и точки ОДЗ, в которых общий множитель отличен от нуля, так как при умножении (делении) обеих частей неравенства на положительное число или выражение знак неравенства сохраняется, а на отрицательный – меняется на противоположный. Поэтому приходится выделять эти подслучаи.

6. При решении неравенства (особенно иррациональных) часто возникает необходимость возведения обеих частей неравенства в квадрат (чётную степень). Это самая опасная ситуация, так как:

а) если обе части неравенства неотрицательны, то обе части неравенства для таких значений неизвестного можно возвести в квадрат (чётную степень), сохраняя знак неравенства;

б) если обе части неравенства имеют разные знаки, то при таких значениях неравенства нельзя обе части неравенства возводить в квадрат (четную степень), да и не нужно, так как сразу ясно, являются или не являются решением неравенства значения неизвестного, реализующие эту ситуацию. Таким образом, при необходимости возведения обеих частей неравенства в квадрат (четную степень) приходиться выделять эти под случаи, проверять решения для них отдельно.

Источник

Метод интервалов, решение неравенств

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение квадратного неравенства

Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.

Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.

Квадратное неравенство выглядит так:

где x — переменная,

Квадратное неравенство можно решить двумя способами:

• графический метод;
• метод интервалов.

Решение неравенства графическим методом

При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.

Как дискриминант влияет на корни уравнения:

1. D = 0. Если дискриминант равен нулю, тогда у квадратного уравнения есть один корень;
2. D > 0. Если дискриминант больше нуля, тогда у квадратного уравнения есть два корня;
3. D

Решение неравенства методом интервалов

Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.

Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +.

Если неравенство со знаком

Плюс или минус: как определить знаки

Можно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:

если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,

если a 0, последовательность знаков: +, +,

если a 0 имеет два корня, то знаки его значений на промежутках чередуются. Это значит, что достаточно определить знак на одном из трех промежутков и расставить знаки над оставшимися промежутками, чередуя их. В результате возможна одна из двух последовательностей: +, −, + или −, +, −.

Если квадратный трехчлен при D = 0 имеет один корень, то этот корень разбивает числовую ось на два промежутка, а знаки над ними будут одинаковыми. Это значит, что достаточно определить знак над одним из них и над другим поставить такой же. При этом получится, либо +, +, либо −, −.

Когда квадратный трехчлен корней не имеет (D

Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. Чтобы закрепить материал потренируемся на примерах и научимся использовать метод интервалов для квадратных неравенств.

Пример 1. Решить неравенство методом интервалов: x^2 — 5x + 6 ≥ 0.

Разложим квадратный трехчлен на множители.

Неравенство примет вид:

Проанализируем два сомножителя:

Первый: х — 3. Этот сомножитель может поменять знак при х = 3, значит при х 0 принимает положительные значения: х — 3 > 0.

Второй: х — 2. Для этого сомножителя такая «знаковая» точка: х = 2.

Вывод: знак произведения (х — 3) * (х — 2) меняется только при переходе переменной через значения х = 3 и х = 2.

В этом весь смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.

Построим чертеж.

Рассмотрим интервалы в том же порядке, как пишем и читаем: слева направо.

Отобразим эти данные на чертеже:

2 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.

• (25 — 3) (25 — 2) = 22*23 = 506 > 0

Вывод: при х > 3 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) > 0. Внесем эти данные в чертеж.

Исходное неравенство: (х — 3) * (х — 2) ≥ 0.

Если (х — 3) * (х — 2) > 0:

Если (х — 3) (х — 2) = 0 — при х1 = 3, х2 = 2.

Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.

Ответ: х ≤ 0, х ≥ 3.

Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3

Источник

Читайте также:  Что значит коронавирусы инактивируются