Что значит независимые случайные величины

Независимые случайные величины. Операции над случайными величинами.

Две случайные величины $X$ и $Y$ называются независимыми, если закон распределения одной случайной величины не изменяется от того, какие возможные значения приняла другая случайная величина. То есть, для любых $x$ и $y$ события $X=x$ и $Y=y$ являются независимыми. Поскольку события $X=x$ и $Y=y$ независимые, то по теореме произведения вероятностей независимых событий $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\right)\right)=P\left(X=x\right)P\left(Y=y\right)$.

Пример 1. Пусть случайная величина $X$ выражает денежный выигрыш по билетам одной лотереи «Русское лото», а случайная величина $Y$ выражает денежный выигрыш по билетам другой лотереи «Золотой ключ». Очевидно, что случайные величины $X,\ Y$ будут независимыми, так как выигрыш по билетам одной лотереи не зависит от закона распределения выигрышей по билетам другой лотереи. В том случае, когда случайные величины $X,\ Y$ выражали бы выигрыш по одной и той же лотереи, то, очевидно, данные случайные величины были бы зависимыми.

Пример 2. Двое рабочих трудятся в разных цехах и изготавливают различные изделия, несвязанные между собой технологиями изготовления и используемым сырьем. Закон распределения числа бракованных изделий, изготовленных первым рабочим за смену, имеет следующий вид:

$\begin<|c|c|>
\hline
Число \ бракованных \ изделий \ x & 0 & 1 \\
\hline
Вероятность & 0,8 & 0,2 \\
\hline
\end$

Число бракованных изделий, изготовленных вторым рабочим за смену, подчиняется следующими закону распределения.

$\begin<|c|c|>
\hline
Число \ бракованных \ изделий \ y & 0 & 1 \\
\hline
Вероятность & 0,7 & 0,3 \\
\hline
\end$

Найдем закон распределения числа бракованных изделий, изготовленных двумя рабочими за смену.

Пусть случайная величина $X$ — число бракованных изделий, изготовленных первым рабочим за смену, а $Y$ — число бракованных изделий, изготовленных вторым рабочим за смену. По условию, случайные величины $X,\ Y$ независимы.

Число бракованных изделий, изготовленных двумя рабочими за смену, есть случайная величина $X+Y$. Ее возможные значения равны $0,\ 1$ и $2$. Найдем вероятности, с которыми случайная величина $X+Y$ принимает свои значения.

$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right)=0,8\cdot 0,7=0,56.$

$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\ Y=1\ или\ X=1,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=1\right)+P\left(X=1\right)P\left(Y=0\right)=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,7=0,38.$

$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\ Y=1\right)=P\left(X=1\right)P\left(Y=1\right)=0,2\cdot 0,3=0,06.$

Тогда закон распределения числа бракованных изделий, изготовленных двумя рабочими за смену:

$\begin<|c|c|>
\hline
Число \ бракованных \ изделий & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Вероятность & 0,56 & 0,38 & 0,06 \\
\hline
\end$

В предыдущем примере мы выполняли операцию над случайными величинами $X,\ Y$, а именно находили их сумму $X+Y$. Дадим теперь более строгое определение операций (сложение, разность, умножение) над случайными величинами и приведем примеры решений.

Определение 1. Произведением $kX$ случайной величины $X$ на постоянную величину $k$ называется случайная величина, которая принимает значения $kx_i$ с теми же вероятностями $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \dots ,\ n\right)$.

Определение 2. Суммой (разностью или произведением) случайных величин $X$ и $Y$ называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ или $x_i\cdot y_i$), где $i=1,\ 2,\dots ,\ n$, с вероятностями $p_$ того, что случайная величина $X$ примет значение $x_i$, а $Y$ значение $y_j$:

Так как случайные величины $X,\ Y$ независимые, то по теореме умножения вероятностей для независимых событий: $p_=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\right)=p_i\cdot p_j$.

Пример 3. Независимые случайные величины $X,\ Y$ заданы своими законами распределения вероятностей.

Составим закон распределения случайной величины $Z=2X+Y$. Суммой случайных величин $X$ и $Y$, то есть $X+Y$, называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида $x_i+y_j$, где $i=1,\ 2,\dots ,\ n$, с вероятностями $p_$ того, что случайная величина $X$ примет значение $x_i$, а $Y$ значение $y_j$: $p_=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right]$. Так как случайные величины $X,\ Y$ независимые, то по теореме умножения вероятностей для независимых событий: $p_=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\right)=p_i\cdot p_j$.

Итак, имеет законы распределения случайных величины $2X$ и $Y$ соответственно.

$\begin<|c|c|>
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end$

Для удобства нахождения всех значений суммы $Z=2X+Y$ и их вероятностей составим вспомогательную таблицу, в каждой клетке которой поместим в левом углу значения суммы $Z=2X+Y$, а в правом углу — вероятности этих значений, полученные в результате перемножения вероятностей соответствующих значений случайных величин $2X$ и $Y$.

В результате получим распределение $Z=2X+Y$:

$\begin<|c|c|>
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 & 0,35 \\
\hline
\end$

Источник

Независимые случайные величины

Содержание

Определения [ править ]

Определение:

Cлучайные величины [math] \xi[/math] и [math]\eta[/math] называются независимыми (англ. independent), если [math]\forall \alpha ,\beta \in \mathbb R[/math] события [math][ \xi \leqslant \alpha ][/math] и [math][ \eta \leqslant \beta ][/math] независимы. [math]P((\xi \leqslant \alpha) \cap (\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)[/math]

Иначе говоря, две случайные величины называются независимыми, если по значению одной нельзя сделать выводы о значении другой.

Независимость в совокупности [ править ]

Определение:

Случайные величины [math]\xi_1, \ldots ,\xi_n[/math] называются независимы в совокупности (англ. mutually independent), если события [math]\xi_1 \leqslant \alpha_1, \ldots ,\xi_n \leqslant \alpha_n[/math] независимы в совокупности.

Примеры [ править ]

Карты [ править ]

Пусть есть колода из [math]36[/math] карт ( [math]4[/math] масти и [math]9[/math] номиналов). Мы вытягиваем одну карту из случайным образом перемешанной колоды (вероятности вытягивания каждой отдельной карты равны). Определим следующие случайные величины:

[math]\xi[/math] — масть вытянутой карты : [math]0[/math] — червы, [math]1[/math] — пики, [math]2[/math] — крести, [math]3[/math] — бубны

[math]\eta[/math] : принимает значение [math]0[/math] при вытягивании карт с номиналами [math]6, 7, 8, 9, 10[/math] или [math]1[/math] при вытягивании валета, дамы, короля или туза

Для доказательства того, что [math]\xi, \eta[/math] независимы, требуется рассмотреть все [math]\alpha,\beta[/math] и проверить выполнение равенства: [math]P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)[/math]

Для примера рассмотрим [math]\alpha = 0, \beta = 0[/math] , остальные рассматриваются аналогично:

[math]P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 0)) = [/math] [math] \dfrac<5> <36>[/math]

[math]P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 0) = [/math] [math] \dfrac<1> <4>[/math] [math] \cdot [/math] [math] \dfrac<5> <9>[/math] [math] = [/math] [math] \dfrac<5> <36>[/math]

Тетраэдр [ править ]

Рассмотрим вероятностное пространство «тетраэдр». Каждое число соответствует грани тетраэдра (по аналогии с игральной костью): [math]\Omega = \<0, 1, 2, 3\>[/math] . [math]\xi (i) = i \bmod 2[/math] , [math]\eta(i) = \left \lfloor \dfrac <2>\right \rfloor[/math] .

Рассмотрим случай: [math]\alpha = 0[/math] , [math]\beta = 1[/math] . [math]P(\xi \leqslant 0) = [/math] [math] \dfrac<1> <2>[/math] , [math]P(\eta \leqslant 1) = 1[/math] , [math]P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 1)) = [/math] [math] \dfrac<1> <2>[/math] .

Для этих значений [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] события являются независимыми, так же, как и для других (рассматривается аналогично), поэтому эти случайные величины независимы.

Заметим, что если: [math]\xi (i) = i \bmod 3[/math] , [math]\eta(i) = \left \lfloor \dfrac <3>\right \rfloor[/math] , то эти величины зависимы: положим [math]\alpha = 0, \beta = 0[/math] . Тогда [math]P(\xi \leqslant 0) = [/math] [math] \dfrac<1> <2>[/math] , [math]P(\eta \leqslant 0) = [/math] [math] \dfrac<3> <4>[/math] , [math]P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 0)) = [/math] [math] \dfrac<1> <4>[/math] [math] \neq P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 0)[/math] .

Честная игральная кость [ править ]

Рассмотрим вероятностное пространство «честная игральная кость»: [math]\Omega = \<1, 2, 3, 4, 5, 6\>[/math] , [math]\xi (i) = i \bmod 2[/math] , [math]\eta (i) = \dfrac <\mathcal i><3 \mathcal >[/math] . Для того, чтобы показать, что величины [math]\xi, \eta[/math] зависимы, надо найти такие [math]\alpha, \beta[/math] , при которых [math]P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) \neq P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)[/math]

При [math]\alpha = 0, \beta = 1[/math] :

[math]P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) = [/math] [math] \dfrac<2> <6>[/math] [math] = [/math] [math] \dfrac<1> <3>[/math] , [math]P(\xi \leqslant 0) = [/math] [math] \dfrac<1> <2>[/math] , [math]P(\eta \leqslant 1) = [/math] [math] \dfrac<5> <6>[/math]

[math]P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) \neq P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 1)[/math] , откуда видно, что величины не являются независимыми.

Источник

Зависимые и независимые случайные величины

В двух предыдущих пунктах было показано, как, зная закон распределения системы двух (дискретных или непрерывных) случайных величин, найти законы распределения отдельных компонент X и Y.

Вопрос: «Можно ли, зная законы распределения отдельных случайных величин X и Y, входящих в систему, найти закон распределения всей системы?»

Прежде, чем ответить на этот вопрос, рассмотрим пример.

Пример 2.2.11. Законы распределений СВДТ X и Y заданы при помощи таблиц:

X	–1	Y	–1
P	0,5	0,5	P	0,5	0,5

Построим следующие две таблицы:

Y X	–1		Y X	–1
–1	0,5	0,5	–1	0,25	0,25	0,5
0,5	0,5	0,25	0,25	0,5
	0,5	0,5		0,5	0,5

Распределения соответствующих компонент в одной и другой таблицах одинаковы. Однако очевидно, что эти таблицы описывают абсолютно различные распределения двумерного случайного вектора (все значения в одной таблице отличны от соответствующих значений в другой таблице).

Таким образом, на поставленный выше вопрос можно дать следующий ответ: «Зная законы распределения отдельных случайных величин X и Y, входящих в систему, найти закон распределения всей системы в общем случае нельзя».

Заметим, что это можно сделать только в одном частном случае, когда случайные величины X и Y, образующие систему, независимы.

Определение. Две случайные величины X и Y называются независимыми, если независимы все связанные с ними события.

Например, и ; и и т.д.

Замечание. Так как зависимость и независимость событий всегда взаимны (если событие A не зависит от события B, то и событие B не зависит от события A), поэтому зависимость и независимость случайных величин также всегда взаимны: если случайная величина X не зависит от случайной величины Y, то Y не зависит от X.

В терминах законов распределения независимость случайных величин можно определить так: «Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая».

Если компоненты X и Y двумерного вектора независимы, то функция распределения выражается, через функции распределения отдельных компонент:

.

Верно и обратное утверждение. Это правило является необходимым и достаточным условием независимости для случайных величин любого типа.

Необходимые и достаточные условия независимости компонент X и Y для дискретного и непрерывного случаев:

1. X и Y являются независимыми дискретными случайными величинами тогда и только тогда, когда для всех значений индексов i и j выполняется

.

2. X и Y являются независимыми непрерывными случайными величинами тогда и только тогда, когда

.

Отметим, что допускается нарушение последнего равенства на множестве точек , имеющих двумерную площадь, равную нулю.

Пример 2.2.12. Закон распределения двумерного дискретного случайного вектора задан таблицей:

Y X
0,1	0,1	0,1	0,1
0,05	0,05	0,05	0,05
0,1	0,1	0,1	0,1

Определить, зависимы или независимы компоненты X и Y.

Решение. Составим законы распределения компонент X и Y:

Y X
0,1	0,1	0,1	0,1	0,4
0,05	0,05	0,05	0,05	0,2
0,1	0,1	0,1	0,1	0,4
	0,25	0,25	0,25	0,25

Проверим теперь выполнение условия для всех пар индексов , . Очевидно, что это условие выполнено для любых i и j. Значит, компоненты X и Y независимы.

Ответ: компоненты X и Y независимы.

Замечание. В данном случае независимость компонент X и Y можно было установить, внимательно посмотрев на исходную таблицу, задающую закон распределения случайного вектора . Из этой таблицы видно, что закон распределения каждой из компонент не зависит от того, какое значение приняла другая компонента.

Пример 2.2.13. Система двух непрерывных случайных величин имеет плотность распределения

Найти константу С. Определить, зависимы или независимы X и Y. Составить функцию распределения .

Решение. Из условия нормировки для функции плотности имеем:

,

отсюда . Таким образом,

Найдем функции плотности отдельных компонент:

, т.е.

, т.е.

Очевидно, что равенство выполняется для всех точек координатной плоскости. Значит, компоненты X и Y независимы. Найдем функцию распределения системы . Так как компоненты независимы, значит, . Найдем вначале и :

Перемножая и при «прямоугольнику» и учитывая, что , , получим:

Источник