Что значит с точностью до изоморфизма

Изоморфизм спешит на помощь

«Изоморфизм» — одно из базовых понятий современной математики. На конкретных примерах на Haskell и C# я не только растолкую теорию для нематематиков (не используя при этом никаких непонятных математических символов и терминов), но и покажу как этим можно пользоваться в повседневной практике.

Проблема в том, что строгое равенство (например, 2 + 2 = 4) часто оказывается излишне строгим. Вот пример:

Однако, есть еще один — более хитрый и во многих ситуациях гораздо более практичный — способ определить в некотором смысле ту же самую функцию:

Вопреки очевидному факту, что для любых двух x, y обе функции всегда вернут одинаковый результат, строгому равенству они не удовлетворяют:

• первая функция сразу возвращает сумму (т.е. выполняет вычисление в момент вывоза),
• в то время как вторая функция возвращает другую функцию (которая в конце-концов вернет сумму — если ее кто-то вызовет, конечно, иначе никакого вычисления выполнено не будет: это пример отложенного вычисления и здесь тоже не обошлось без изоморфизма, к которому я вернусь чуть позднее).

А это и есть «быть излишне строгим».

Изоморфизм же «достаточно строг»; он не требует полного, всеохватывающего равенства, но ограничивается равенством «в некотором смысле», который всегда обусловлен определенным контекстом.

Как догадались, оба определения выше оказываются изоморфны. Это означает в точности следующее: если мне дано только одно из них, то в неявном виде мне даны сразу оба: все благодаря изоморфизму — двухстороннему преобразователю одного в другое. Немного обобщив типы:

… и теперь для любых x, y:

На самом деле должно было бы выглядеть вот так:

Id следует понимать как «ничего не произошло». Поскольку изоморфизм это двухсторонний преобразователь по определению, то всегда можно 1) взять что-то одно, 2) преобразовать это в другое и 3) преобразовать обратно в первое. Таких операций можно проделать всего две: потому что на первом этапе (№1) выбор всего лишь из двух вариантов. И в обоих случаях операция должна приводить ровно к тому же результату, как если бы вообще ничего не происходило (именно по этой причине задействовано строгое равенство — потому что вообще ничего не изменилось, а не «что-то» не изменилось).

Вдобавок к этому, существует теорема о том, что id элемент всегда уникален. Обратите внимание, что функция Id — generic, полиморфна и потому действительно уникальна по отношению к каждому конкретному типу.

Изоморфизм оказывается очень и очень полезным именно потому, что строг, но не слишком. Он сохраняет определенные важные свойства (в примере выше — одинаковый результат при одинаковых аргументах), при этом позволяя свободно трансформировать сами структуры данных (носители изоморфных поведения и свойств). И это абсолютно безопасно — ведь изоморфизм всегда работает в обе стороны, а значит всегда можно вернуться обратно без потери тех самых «важных свойств». Приведу другой пример, который настолько полезен на практике, что даже положен в основу многих «продвинутых» языков программирования типа того же Haskell’я:

Этот изоморфизм сохраняет сам результат отложенного вычисления — это и есть «важное свойство», в то время как структуры данных — разные.

Вывод? ООП, особенно строго типизированное, (вынужденно) работает на уровне «строгого равенства». И потому — по следам приведенных примеров — часто бывает излишне строгим. Когда ты привыкаешь мыслить «излишне строго» (а это происходит незаметно — помалу просачивается в программиста, особенно если он не ищет вдохновения в математике), твои решения невольно теряют желанную (или, по крайней мере, объективно возможную) гибкость. Понимание изоморфизма — в содружестве с осознанной попыткой быть внимательнее к своему
и чужому коду — помогает четче определять круг «важных свойств», абстрагируясь от излишних деталей: а именно, от конкретных структур данных, на которых эти «важные свойства» запечатлены (они же — «детали реализации», если уж на то пошло). В первую очередь — это способ мыслить и уже только потом — более удачные (микро)архитектурные решения и, как естественное следствие, переиначенный подход к тестированию.

Источник

Изоморфизм

В математике , изоморфизм представляет собой структуру , сохраняющих отображение между двумя структурами одного и того же типа , который может быть обратным путем обратного отображения . Две математические структуры являются изоморфными , если существует изоморфизм между ними. Слово изоморфизм происходит от древнегреческого : ἴσος isos «равный», а μορφή morphe «форма» или «форма».

Интерес к изоморфизмам заключается в том, что два изоморфных объекта имеют одинаковые свойства (за исключением дополнительной информации, такой как дополнительная структура или имена объектов). Таким образом, изоморфные структуры нельзя различить только с точки зрения структуры, и их можно идентифицировать. На математическом жаргоне говорят, что два объекта одинаковы с точностью до изоморфизма . [ необходима цитата ]

Автоморфизм является изоморфизмом от структуры к себе. Изоморфизм между двумя структурами — это канонический изоморфизм ( каноническое отображение, которое является изоморфизмом), если существует только один изоморфизм между двумя структурами (как это имеет место для решений универсального свойства ), или если изоморфизм гораздо более естественный (в некотором смысле), чем другие изоморфизмы. Например, для каждого простого числа p все поля с p элементами канонически изоморфны с единственным изоморфизмом. В теоремы изоморфизма обеспечивают канонические изоморфизмы, которые не являются уникальными.

Термин изоморфизм в основном используется для алгебраических структур . В этом случае отображения называются гомоморфизмами , а гомоморфизм является изоморфизмом тогда и только тогда, когда он биективен .

В различных областях математики изоморфизмы получили специализированные названия в зависимости от типа рассматриваемой структуры. Например:

Теория категорий , которую можно рассматривать как формализацию концепции отображения между структурами, предоставляет язык, который можно использовать для унификации подхода к этим различным аспектам основной идеи.

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Примеры
  • 1.1 Логарифм и экспонента
  • 1.2 Целые числа по модулю 6
  • 1.3 Сохраняющий отношения изоморфизм
• 2 Приложения
• 3 Теоретический взгляд на категории
  • 3.1 Изоморфизм против биективного морфизма
• 4 Связь с равенством
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 ссылки
• 8 Дальнейшее чтение
• 9 Внешние ссылки

Примеры [ править ]

Логарифм и экспонента [ править ]

Пусть будет мультипликативная группа из положительных действительных чисел , и пусть аддитивная группа вещественных чисел. р + <\ Displaystyle \ mathbb ^ <+>> р <\ Displaystyle \ mathbb >

Функция логарифма удовлетворяет всем , так что это групповой гомоморфизм . В экспоненциальной функции удовлетворяет для всех , так что это тоже является гомоморфизмом. бревно : р + → р <\ Displaystyle \ log \ двоеточие \ mathbb ^ <+>\ to \ mathbb > бревно ⁡ ( Икс y ) знак равно бревно ⁡ Икс + бревно ⁡ y <\displaystyle \log(xy)=\log x+\log y> x , y ∈ R + <\displaystyle x,y\in \mathbb ^<+>> exp : R → R + <\displaystyle \exp \colon \mathbb \to \mathbb ^<+>> exp ⁡ ( x + y ) = ( exp ⁡ x ) ( exp ⁡ y ) <\displaystyle \exp(x+y)=(\exp x)(\exp y)> x , y ∈ R <\displaystyle x,y\in \mathbb >

Идентичность и показать , что и являются обратными друг друга. Поскольку является гомоморфизмом, имеющим обратный, который также является гомоморфизмом, является изоморфизмом групп. log ⁡ exp ⁡ x = x <\displaystyle \log \exp x=x> exp ⁡ log ⁡ y = y <\displaystyle \exp \log y=y> log <\displaystyle \log > exp <\displaystyle \exp > log <\displaystyle \log > log <\displaystyle \log >

Функция есть изоморфизм , который переводит умножение положительных действительных чисел в дополнение действительных чисел. Это средство позволяет умножить действительные числа , используя линейку и таблицу логарифмов , или используя логарифмическую линейку с логарифмической шкалой. log <\displaystyle \log >

Целые числа по модулю 6 [ править ]

Рассмотрим группу , целые числа от 0 до 5 со сложением по модулю 6. Также рассмотрим группу , упорядоченные пары, где координаты x могут быть 0 или 1, а координаты y могут быть 0, 1 или 2, где добавление в Координата x определяется по модулю 2, а сложение координаты y — по модулю 3. ( Z 6 , + ) <\displaystyle (\mathbb _<6>,+)> ( Z 2 × Z 3 , + ) <\displaystyle (\mathbb _<2>\times \mathbb _<3>,+)>

Эти структуры изоморфны по сложению по следующей схеме:

(0,0) ↦ 0 (1,1) ↦ 1 (0,2) ↦ 2 (1,0) ↦ 3 (0,1) ↦ 4 (1,2) ↦ 5

или вообще ( a , b ) ↦ (3 a + 4 b ) mod 6.

Например, (1,1) + (1,0) = (0,1) , что переводится в другой системе как 1 + 3 = 4 .

Хотя эти две группы «выглядят» по-разному, поскольку наборы содержат разные элементы, они действительно изоморфны : их структуры абсолютно одинаковы. В более общем случае прямое произведение двух циклических групп и изоморфна тогда и только тогда , когда т и п являются взаимно простыми , согласно теореме китайского остатка . Z m <\displaystyle \mathbb _> Z n <\displaystyle \mathbb _> ( Z m n , + ) <\displaystyle (\mathbb _,+)>

Изоморфизм, сохраняющий отношения [ править ]

Если один объект состоит из множества X с бинарным отношением R, а другой объект состоит из множества Y с бинарным отношением S, то изоморфизм из X в Y является биективной функцией ƒ: X → Y, такой что: [1]

S ⁡ ( f ( u ) , f ( v ) ) ⟺ R ⁡ ( u , v ) <\displaystyle \operatorname (f(u),f(v))\iff \operatorname (u,v)>

S является рефлексивным , иррефлексивным , симметричным , антисимметричным , асимметричным , транзитивным , полным , трихотомическим , частичным порядком , полным порядком , хорошим порядком , строгим слабым порядком , полным предварительным порядком (слабым порядком), отношением эквивалентности или отношением с любым другим. специальные свойства, если и только если R есть.

Например, R — это порядок ≤, а S — порядок , тогда изоморфизм из X в Y — это биективная функция ƒ: X → Y такая, что ⊑ <\displaystyle \scriptstyle \sqsubseteq >

f ( u ) ⊑ f ( v ) ⟺ u ≤ v . <\displaystyle f(u)\sqsubseteq f(v)\iff u\leq v.>

Такой изоморфизм называется изоморфизмом порядка или (реже) изотонным изоморфизмом .

Если X = Y , то это автоморфизм, сохраняющий отношения .

Приложения [ править ]

В алгебре изоморфизмы определены для всех алгебраических структур . Некоторые из них более конкретно изучены; Например:

• Линейные изоморфизмы между векторными пространствами ; они задаются обратимыми матрицами .
• Групповые изоморфизмы между группами ; классификация классов изоморфизма из конечных групп является открытой проблемой.
• Изоморфизм колец между кольцами .
• Изоморфизмы полей — это то же самое, что изоморфизм колец между полями ; их изучение, а точнее изучение полевых автоморфизмов, является важной частью теории Галуа .

Так же , как автоморфизмы из в алгебраических структурах образуют группу , изоморфизмы между двумя алгебрами разделяющих общей структурой образуют кучу . Если позволить определенному изоморфизму идентифицировать две структуры, эта куча превращается в группу.

В математическом анализе , то преобразование Лапласа является сопоставление изоморфизма жесткие дифференциальные уравнений в более простые алгебраические уравнения.

В теории графов изоморфизм между двумя графами G и H — это биективное отображение f из вершин G в вершины H, которое сохраняет «структуру ребер» в том смысле, что существует ребро из вершины u в вершину v в G тогда и только тогда, когда в H есть ребро из ƒ ( u ) в ƒ ( v ) . См. Изоморфизм графов .

В математическом анализе изоморфизм между двумя гильбертовыми пространствами — это сложение, сохраняющее биекцию, скалярное умножение и внутреннее произведение.

В ранних теориях логического атомизма Бертран Рассел и Людвиг Витгенштейн полагали, что формальные отношения между фактами и истинными предложениями изоморфны. Пример такого мышления можно найти во введении Рассела в математическую философию .

В кибернетике утверждается , что хороший регулятор или теорема Конанта – Эшби: «Каждый хороший регулятор системы должен быть моделью этой системы». Независимо от того, регулируется он или саморегулируется, требуется изоморфизм между регулирующей и обрабатывающей частями системы.

Теоретический взгляд на категории [ править ]

В теории категорий для данной категории C изоморфизм — это морфизм f : a → b, который имеет обратный морфизм g : b → a , то есть fg = 1 _b и gf = 1 _a . Например, биективное линейное отображение — это изоморфизм между векторными пространствами , а биективная непрерывная функция , обратная к которой также непрерывна, — это изоморфизм между топологическими пространствами , называемый гомеоморфизмом .

Две категории С и D являются изоморфными , если существуют функторы F : C → D и G : D → C , которые взаимно обратны друг к другу, то есть, FG = 1 _Г (тождественный функтор на D ) и GF = 1 _С ( тождественный функтор на D ).

Изоморфизм против биективного морфизма [ править ]

В конкретной категории (то есть категории, объектами которой являются множества (возможно, с дополнительной структурой) и морфизмы которой являются функциями, сохраняющими структуру), такой как категория топологических пространств или категории алгебраических объектов (например, категория групп , категории колец и категории модулей ) изоморфизм должен быть биективным на лежащих в основе множествах . В алгебраических категориях (в частности, в категориях многообразий в смысле универсальной алгебры), изоморфизм совпадает с гомоморфизмом, который биективен на базовых множествах. Однако существуют конкретные категории, в которых биективные морфизмы не обязательно являются изоморфизмами (например, категория топологических пространств).

Связь с равенством [ править ]

В некоторых областях математики, особенно в теории категорий, полезно различать равенство, с одной стороны, и изоморфизм, с другой. [2] Равенство — это когда два объекта абсолютно одинаковы, и все, что верно для одного объекта, верно для другого, в то время как изоморфизм подразумевает, что все, что верно для обозначенной части структуры одного объекта, верно для другого. Например, наборы

являются равными ; они просто разные представления — первое интенсиональное (в нотации построителя множеств ), а второе экстенсиональное (посредством явного перечисления) — одного и того же подмножества целых чисел. Напротив, наборы < A , B , C > и <1,2,3>не равны — в первом есть элементы, которые являются буквами, а во втором — числа. Они изоморфны как множества, поскольку конечные множества определяются с точностью до изоморфизма своей мощностью (числом элементов), и оба они имеют три элемента, но есть много вариантов изоморфизма — один изоморфизм есть

A ↦ 1 , B ↦ 2 , C ↦ 3 , <\displaystyle <\text>\mapsto 1,<\text>\mapsto 2,<\text>\mapsto 3,> в то время как другой A ↦ 3 , B ↦ 2 , C ↦ 1 , <\displaystyle <\text>\mapsto 3,<\text>\mapsto 2,<\text>\mapsto 1,>

и ни один изоморфизм по сути не лучше любого другого. [примечание 1] [примечание 2] С этой точки зрения и в этом смысле эти два множества не равны, потому что нельзя считать их идентичными : можно выбрать изоморфизм между ними, но это более слабое утверждение, чем тождество — и справедливо только в контекст выбранного изоморфизма.

Иногда изоморфизмы могут показаться очевидными и убедительными, но все же не являются равенствами. В качестве простого примера, генеалогические отношения между Джо , Джоном и Бобби Кеннеди в реальном смысле такие же, как и у защитников американского футбола в семье Мэннинга : Арчи , Пейтона и Эли . Пары отец-сын и пары старший-брат-младший-брат полностью соответствуют друг другу. Это сходство между двумя семейными структурами иллюстрирует происхождение слова изоморфизм (греч. Iso -, «тот же» и — морф , «форма» или «форма»). Но поскольку Кеннеди — не те люди, что и Мэннинги, эти две генеалогические структуры просто изоморфны и не равны.

Другой пример является более формальным и более прямо иллюстрирует мотивацию отличать равенство от изоморфизма: различие между конечномерным векторным пространством V и его двойственным пространством V * = <φ: V → K > линейных отображений из V в его поле скаляры K . Эти пространства имеют ту же размерность и, следовательно, изоморфны как абстрактные векторные пространства (поскольку алгебраически векторные пространства классифицируются по размерности, так же как множества классифицируются по мощности), но нет «естественного» выбора изоморфизма . Если выбрать базис для V , то получится изоморфизм: для всех u . v ∈ V → ∼ V ∗ <\displaystyle \scriptstyle V\mathrel <\overset <\sim ><\to >> V^<*>> V ,

v ↦ ∼ ϕ v ∈ V ∗ such that ϕ v ( u ) = v T u <\displaystyle v\mathrel <\overset <\sim ><\mapsto >> \phi _\in V^<*>\quad <\text>\quad \phi _(u)=v^ <\mathrm >u> .

Это соответствует преобразованию вектора-столбца (элемента V ) в вектор-строку (элемент V *) посредством транспонирования , но другой выбор базиса дает другой изоморфизм: изоморфизм «зависит от выбора базиса». Более тонко, там есть карта из векторного пространства V в его двойной двойной V ** = < х : V * → K > , которая не зависит от выбора базиса: Для всех об ∈ V и φ ∈ V *,

v ↦ ∼ x v ∈ V ∗ ∗ such that x v ( ϕ ) = ϕ ( v ) <\displaystyle v\mathrel <\overset <\sim ><\mapsto >> x_\in V^<**>\quad <\text>\quad x_(\phi )=\phi (v)> .

Это приводит к третьему понятию естественного изоморфизма : хотя V и V ** — разные множества, существует «естественный» выбор изоморфизма между ними. Это интуитивное понятие «изоморфизм, не зависящий от произвольного выбора» формализовано в понятии естественного преобразования ; вкратце, что можно последовательно идентифицировать или, в более общем смысле, отображать конечномерное векторное пространство в его двойное двойственное для любого векторного пространства согласованным способом. Формализация этой интуиции является мотивацией для развития теории категорий. V → ∼ V ∗ ∗ <\displaystyle \scriptstyle V\mathrel <\overset <\sim ><\to >> V^<**>>

Однако есть случай, когда различие между естественным изоморфизмом и равенством обычно не проводится. То есть для объектов, которые можно охарактеризовать универсальным свойством . Фактически, существует уникальный изоморфизм, обязательно естественный, между двумя объектами, обладающими одним и тем же универсальным свойством. Типичным примером является набор действительных чисел , который может быть определен посредством бесконечного десятичного расширения, бесконечного двоичного расширения, последовательностей Коши , сокращений Дедекинда.и многие другие способы. Формально эти конструкции определяют разные объекты, которые являются решениями с одним и тем же универсальным свойством. Поскольку эти объекты обладают одинаковыми свойствами, можно забыть о методе построения и считать их равными. Это то , что делает все , когда речь идет « о множестве действительных чисел». То же самое происходит с факторпространствами : они обычно строятся как наборы классов эквивалентности . Однако обращение к набору наборов может быть нелогичным, и поэтому фактор-пространства обычно рассматриваются как пара из набора неопределенных объектов, часто называемых «точками», и сюръективного отображения на это множество.

Если кто-то хочет различать произвольный изоморфизм (тот, который зависит от выбора) и естественный изоморфизм (тот, который может быть выполнен последовательно), можно написать ≈ для неестественного изоморфизма и ≅ для естественного изоморфизма, как в V ≈ V * и V ≅ V **. Это соглашение не соблюдается повсеместно, и авторы, которые хотят различать неестественные изоморфизмы и естественные изоморфизмы, обычно явно указывают это различие.

Обычно утверждение, что два объекта равны , зарезервировано для случаев, когда существует понятие большего (окружающего) пространства, в котором эти объекты живут. Чаще всего говорят о равенстве двух подмножеств данного набора (как в примере с целым набором выше), а не двух абстрактно представленных объектов. Например, двумерная единичная сфера в трехмерном пространстве

которое может быть представлено как одноточечная компактификация комплексной плоскости C ∪ <∞>или как комплексная проективная прямая (фактор-пространство)

P C 1 := ( C 2 ∖ < ( 0 , 0 ) >) / ( C ∗ ) <\displaystyle \mathbf

_ <\mathbb >^<1>:=\left(\mathbb ^<2>\setminus \<(0,0)\>\right)/\left(\mathbb ^<*>\right)>

представляют собой три разных описания математического объекта, все из которых изоморфны, но не равны, потому что они не все подмножества одного пространства: первое — это подмножество R 3 , второе — C ≅ R 2 [примечание 3] плюс дополнительный пункт, а третий является подфактором из C 2 .

В контексте теории категорий объекты обычно в лучшем случае изоморфны — действительно, мотивация для развития теории категорий показывала, что различные конструкции в теории гомологий дают эквивалентные (изоморфные) группы. Однако при наличии отображений между двумя объектами X и Y возникает вопрос, равны они или нет (они оба являются элементами множества Hom ( X , Y ), следовательно, равенство является правильным соотношением), особенно в коммутативных диаграммах .

Источник