Что значит сумма частного чисел

Частное в математике — определение, свойства и формула

Математика – царица наук. Она хоть и сложна, и многие боятся некоторых запутанных формул и вычислений, но все они состоят из простых арифметических действий сложения, вычитания, умножения и деления.

Производные операции от этих действий называются суммой, разностью, произведением и частным. Что такое частное в математике и каковы его главные свойства – будет подробно рассказано далее.

Основное свойство частного

Деление – это арифметическая операция, обратная умножению. С ее помощью можно просто узнать, сколько в первом числе содержится значений второго.

По аналогии с умножением, которое способно заменить собой многократное сложение, дробление способно заменить многократное вычитание.

Например, необходимо разделить 10 на 2. Это означает, что требуется узнать, сколько раз число 2 содержится в 10. Делая это вычитанием можно получить следующее:

10 — 2 — 2 — 2 — 2 — 2 = 0.

Проводя постепенное вычитание до нуля, можно определить, что двойка содержится в десятке ровно 5 раз и не образует остаток. Сделать это можно было однократно поделив два значения:

Частное чисел – это итог процесса деления одного значения на второе. Пример:

где 28 — делимое;

Одно из важнейших правил деления частного, называемое основным свойством частного, заключается в том, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то итог этой операции и, соответственно частное, не изменится:

При делении числа самого на себя результатом всегда будет единица, то есть справедливо равенство:

Справедливо и другое правило: если разделить определенную величину на единицу, то итогом процесса будет сама эта величина, то есть делимое:

Увеличение или уменьшение делимого

Некоторые другие соотношения вытекают из этих. Например, если увеличить или уменьшить делимое в n раз, то в результате частное также повысится или понизится в n раз соответственно.

Изложенное правило имеет такой вид:

12 ⁄ 2 = 6 и пусть n = 3.

Проведём увеличение и уменьшение делимого:

(12∗3) /2 = 6∗3 — увеличили делимое на 3, равенство верное: 36 / 2 = 18;

(12 / 3) / 2 = 6 / 3 — уменьшили делимое на 3, равенство все равно верное: 4 / 2 = 2.

То есть, в три раза увеличив делимое, можно в три раза увеличить частное. Аналогично выполняется и уменьшение.

Увеличение или уменьшение делителя

Следующее правило звучит так: если увеличить или уменьшить делитель в n раз, то результат деления понизится или повысится в n-нное количество раз:

Для примера требуется взять частное двух значений 54 и 6:

a / b = c и пусть n = 3.

Проведём увеличение и уменьшение делителя:

54 / (6∗3) = 9 / 3 — увеличили делитель в 3 раза, равенство верное: 54 / 18 =3;

54 / (6 / 3) = 9∗3 — уменьшили делитель в 3 раза, получаем равенство: 54 / 2 = 27.

Увеличив делитель в 3 раза, во столько же раз уменьшили частное. Уменьшив делитель в три раза, делитель, напротив, увеличился в три раза.

Проверить эти «законы» можно в любом онлайн калькуляторе или вручную в уме или на бумаге.

Данные правила являются фундаментальными и составляют базу арифметики, с которой начинается математика и остальные области знаний.

Источник

Частное в математике — определение, свойства и формула

Математика – царица наук. Она хоть и сложна, и многие боятся некоторых запутанных формул и вычислений, но все они состоят из простых арифметических действий сложения, вычитания, умножения и деления.

Производные операции от этих действий называются суммой, разностью, произведением и частным. Что такое частное в математике и каковы его главные свойства – будет подробно рассказано далее.

Основное свойство частного

Деление – это арифметическая операция, обратная умножению. С ее помощью можно просто узнать, сколько в первом числе содержится значений второго.

По аналогии с умножением, которое способно заменить собой многократное сложение, дробление способно заменить многократное вычитание.

Например, необходимо разделить 10 на 2. Это означает, что требуется узнать, сколько раз число 2 содержится в 10. Делая это вычитанием можно получить следующее:

10 — 2 — 2 — 2 — 2 — 2 = 0.

Проводя постепенное вычитание до нуля, можно определить, что двойка содержится в десятке ровно 5 раз и не образует остаток. Сделать это можно было однократно поделив два значения:

Частное чисел – это итог процесса деления одного значения на второе. Пример:

где 28 — делимое;

Одно из важнейших правил деления частного, называемое основным свойством частного, заключается в том, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то итог этой операции и, соответственно частное, не изменится:

При делении числа самого на себя результатом всегда будет единица, то есть справедливо равенство:

Справедливо и другое правило: если разделить определенную величину на единицу, то итогом процесса будет сама эта величина, то есть делимое:

Увеличение или уменьшение делимого

Некоторые другие соотношения вытекают из этих. Например, если увеличить или уменьшить делимое в n раз, то в результате частное также повысится или понизится в n раз соответственно.

Изложенное правило имеет такой вид:

12 ⁄ 2 = 6 и пусть n = 3.

Проведём увеличение и уменьшение делимого:

(12∗3) /2 = 6∗3 — увеличили делимое на 3, равенство верное: 36 / 2 = 18;

(12 / 3) / 2 = 6 / 3 — уменьшили делимое на 3, равенство все равно верное: 4 / 2 = 2.

То есть, в три раза увеличив делимое, можно в три раза увеличить частное. Аналогично выполняется и уменьшение.

Увеличение или уменьшение делителя

Следующее правило звучит так: если увеличить или уменьшить делитель в n раз, то результат деления понизится или повысится в n-нное количество раз:

Для примера требуется взять частное двух значений 54 и 6:

a / b = c и пусть n = 3.

Проведём увеличение и уменьшение делителя:

54 / (6∗3) = 9 / 3 — увеличили делитель в 3 раза, равенство верное: 54 / 18 =3;

54 / (6 / 3) = 9∗3 — уменьшили делитель в 3 раза, получаем равенство: 54 / 2 = 27.

Увеличив делитель в 3 раза, во столько же раз уменьшили частное. Уменьшив делитель в три раза, делитель, напротив, увеличился в три раза.

Проверить эти «законы» можно в любом онлайн калькуляторе или вручную в уме или на бумаге.

Данные правила являются фундаментальными и составляют базу арифметики, с которой начинается математика и остальные области знаний.

Источник

Значение частного двух чисел в математике

Что такое частное чисел

Частное чисел – это результат деления одного числа на другое. Оно показывает, сколько раз число a содержится в числе b.

Деление как операция

Деление – арифметическая операция, обратная умножению, суть которой заключается в нахождении одного из сомножителей по произведению и другому множителю. В данном случае произведение переходит в делимое, имеющийся сомножитель – в делитель, искомый сомножитель – в частное.

Подобно тому, как неоднократно прибавить число – это значит умножить, так и неоднократно вычесть – это значит разделить.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

На письме данную операцию можно обозначать разными символами:

• : двоеточием;
• ÷ обелюсом;
• / косой чертой (слеш);
• — горизонтальной чертой (знак дроби).

Процесс деления имеет следующий вид:

В цифрах данное выражение можно записать так:

Основные свойства деления

Деление не коммутативно, то есть не перестановочно – от перемены мест элементов операции частное изменяется:

Деление не ассоциативно – то есть при последовательном выполнении деления трех или более чисел последовательность операций имеет значение, при смене порядка выполнения изменится результат:

Деление дистрибутивно справа – на одном и том же множестве две бинарные операции имеют свойство согласованности:

\((a + b): x = (a : x)+(b : x);\)

Имеется единственный нейтральный элемент – число 1, при делении на единицу результатом является исходное число (делимое):

Имеется единственный обратный элемент – число 1, при делении единицы на число результатом является число, обратное исходному (делителю):

Существует единственный нулевой элемент – число 0, при делении нуля на любое число результатом будет нуль:

Деление на нулевой элемент не определено:

Деление на противоположный элемент дает минус единицу:

Неполное частное

Неполное частное – результат, который получился после деления с остатком.

Под делением с остатком понимается нахождение наибольшего целого числа, которое в произведении с делителем дает число, не превышающее делимое. Это искомое и называют неполным частным.

Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком, который всегда меньше делителя.

Например, 17 не делится без остатка на 5.

Наибольшее число, результат умножения которого на 5 не превосходит 17, это 3. 3 в данном случае является неполным частным.

Чтобы получить остаток, нужно из 17 вычесть произведение 3 и 5, то есть 17 – 3*5 = 2. Остаток – 2.

Изменение частного в зависимости от изменения делимого и делителя

• увеличение делимого в несколько раз приведет к тому, что частное увеличится во столько же раз:

• уменьшение делимого в несколько раз приведет к тому, что частное уменьшится во столько же раз:

• увеличение делителя в несколько раз приведет к тому, что частное уменьшится во столько же раз:

• уменьшение делителя в несколько раз приведет к тому, что частное увеличится во столько же раз:

Частное не изменится, если делимое и делить одновременно увеличить или уменьшить в одинаковое количество раз:

Задачи, примеры вычисления частного

Для того, чтобы проиллюстрировать данную арифметическую операцию, решим простые задачи.

Задача 1

В книге 891 страница. Она поделена на 9 равных глав. Узнайте, сколько страниц в одной главе.

Для этого количество страниц разделим на количество глав:

891 : 9 = 99 (страниц)

Ответ: 99 страниц.

Задача 2

У Антона есть 22 апельсина. Он хочет приготовить из них компот. Для одного литра компота ему понадобится 3 апельсина. Нужно вычислить, сколько литров напитка сможет приготовить Антон и сколько апельсинов у него останется.

Источник

Значение частного двух чисел в математике

Что такое частное чисел

Частное чисел – это результат деления одного числа на другое. Оно показывает, сколько раз число a содержится в числе b.

Деление как операция

Деление – арифметическая операция, обратная умножению, суть которой заключается в нахождении одного из сомножителей по произведению и другому множителю. В данном случае произведение переходит в делимое, имеющийся сомножитель – в делитель, искомый сомножитель – в частное.

Подобно тому, как неоднократно прибавить число – это значит умножить, так и неоднократно вычесть – это значит разделить.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

На письме данную операцию можно обозначать разными символами:

• : двоеточием;
• ÷ обелюсом;
• / косой чертой (слеш);
• — горизонтальной чертой (знак дроби).

Процесс деления имеет следующий вид:

В цифрах данное выражение можно записать так:

Основные свойства деления

Деление не коммутативно, то есть не перестановочно – от перемены мест элементов операции частное изменяется:

Деление не ассоциативно – то есть при последовательном выполнении деления трех или более чисел последовательность операций имеет значение, при смене порядка выполнения изменится результат:

Деление дистрибутивно справа – на одном и том же множестве две бинарные операции имеют свойство согласованности:

\((a + b): x = (a : x)+(b : x);\)

Имеется единственный нейтральный элемент – число 1, при делении на единицу результатом является исходное число (делимое):

Имеется единственный обратный элемент – число 1, при делении единицы на число результатом является число, обратное исходному (делителю):

Существует единственный нулевой элемент – число 0, при делении нуля на любое число результатом будет нуль:

Деление на нулевой элемент не определено:

Деление на противоположный элемент дает минус единицу:

Неполное частное

Неполное частное – результат, который получился после деления с остатком.

Под делением с остатком понимается нахождение наибольшего целого числа, которое в произведении с делителем дает число, не превышающее делимое. Это искомое и называют неполным частным.

Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком, который всегда меньше делителя.

Например, 17 не делится без остатка на 5.

Наибольшее число, результат умножения которого на 5 не превосходит 17, это 3. 3 в данном случае является неполным частным.

Чтобы получить остаток, нужно из 17 вычесть произведение 3 и 5, то есть 17 – 3*5 = 2. Остаток – 2.

Изменение частного в зависимости от изменения делимого и делителя

• увеличение делимого в несколько раз приведет к тому, что частное увеличится во столько же раз:

• уменьшение делимого в несколько раз приведет к тому, что частное уменьшится во столько же раз:

• увеличение делителя в несколько раз приведет к тому, что частное уменьшится во столько же раз:

• уменьшение делителя в несколько раз приведет к тому, что частное увеличится во столько же раз:

Частное не изменится, если делимое и делить одновременно увеличить или уменьшить в одинаковое количество раз:

Задачи, примеры вычисления частного

Для того, чтобы проиллюстрировать данную арифметическую операцию, решим простые задачи.

Задача 1

В книге 891 страница. Она поделена на 9 равных глав. Узнайте, сколько страниц в одной главе.

Для этого количество страниц разделим на количество глав:

891 : 9 = 99 (страниц)

Ответ: 99 страниц.

Задача 2

У Антона есть 22 апельсина. Он хочет приготовить из них компот. Для одного литра компота ему понадобится 3 апельсина. Нужно вычислить, сколько литров напитка сможет приготовить Антон и сколько апельсинов у него останется.

Источник