Отрезок АС виден из точек В и М под одинаковым углом…
Схема 3. У треугольников АВС и АМС сторона АС – общая, угол В равен углу М, причем точки В и М лежат по одну сторону от прямой АС. Тогда точки А, В, С, М лежат на одной окружности.
В самом деле: по теореме синусов, радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС, равен радиусу окружности, описанной вокруг треугольника АМС и равен А это значит, что точки А, В, М и С лежат на одной окружности.
Можно доказать и более общее утверждение: геометрическое место точек М, из которых отрезок АВ виден под данным углом, есть две дуги равных окружностей с общей хордой АВ, без точек А и В.
Задача ЕГЭ (Профильный уровень, №16)
Пусть АВ – хорда окружности с центром О, СВ – касательная к этой окружности, точки А и В лежат по разные стороны от прямой ОС. Радиус окружности ОВ равен 4, углы ОСВ и ОАВ равны.
а) Докажите, что точка О лежит на окружности Ω, описанной вокруг треугольника АВС.
б) Найдите радиус окружности Ω.
а) По условию, углы ОСВ и ОАВ равны. Отрезок ОВ виден из точек А и С под одинаковыми углами. Это значит, что четырехугольник OACB можно вписать в окружность. Тогда точка О лежит на окружности Ω, описанной вокруг треугольника АВС.
б) Мы доказали, что точка О лежит на окружности Ω, описанной вокруг треугольника АВС. Так как ВС – касательная к окружности, ВС ⊥ ОВ, ∠OBC=90°, значит, OC – диаметр. Тогда ∠OAC=90°, и треугольники ОВС и ОАС равны по гипотенузе и катету: OC – общая, OB=OA, ∠OAC=∠OВC=90°. Радиус окружности Ω равен .
Перестроим чертеж. Пусть М – точка пересечения отрезков АВ и ОС.
По условию, ОВ = 4, . Тогда . Из прямоугольного треугольника ОВМ по теореме Пифагора найдем .
Заметим, что на чертеже есть подобные прямоугольные треугольники: по двум углам.
Запишем соотношение сходственных сторон для этих треугольников:
Получим: Отсюда Это диаметр окружности Ω. Радиус в 2 раза меньше:
Источник
Отрезок АС виден из точек В и М под прямым углом…
Схема 4. У треугольников АВС и АМС сторона АС – общая, углы В и М – прямые. Тогда точки А, В, С, М лежат на окружности, радиус которой равен половине АС.
Иначе говоря, геометрическое место точек М, из которых отрезок АВ виден под прямым углом, есть окружность с диаметром АС без точек А и С.
Как и в предыдущей схеме, воспользуемся теоремой синусов.
, где R – радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС, а также вокруг треугольника АМС. Это значит, что точки А, В, М и С лежат на окружности, центром которой является середина АС.
Задача ЕГЭ (№16, Профильный уровень, ЕГЭ-2018)
В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD углы ABD и ACD прямые.
а) Докажите, что АВ = CD.
б) Найдите AD, если AB = 2, BC = 7.
а) Углы ABD и ACD прямые, поэтому вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности диаметром AD. Трапеция вписана в окружность, значит она равнобедренная, и это значит, что АВ = CD.
б) Пусть ВН — высота трапеции ABCD. Трапеция равнобедренная, тогда, AD = 2AH + BC.
Найдем АН из прямоугольного треугольника АВН.
Пусть АН = х. Получим уравнение:
Его положительный корень АН = 0,5. Тогда AD = 8.
Ответ: 8.
Источник
Что значит видна под прямым углом
Укажите точки на поверхности куба, из которых диагональ куба видна под наименьшим углом.
Решение
Рассмотрим одну из диагоналей куба АВСDA1B1C1D1 , например, А1С (см. рис. 11.3б, в). Заметим, что диагональ A1C видна из любой вершины куба (кроме точек А1 и С ) под прямым углом (это следует из теоремы о трех перпендикулярах или из теоремы, обратной теореме Пифагора). Докажем, что из других точек поверхности куба эта диагональ видна под тупым углом. Возможны различные способы рассуждений.
Первый способ. Опишем вокруг куба сферу. Из сказанного выше следует, что диагональ А1С куба является ее диаметром. Докажем, что из любой точки Р внутри сферы (не лежащей на диаметре) этот диаметр виден под тупым углом. Действительно, проведем сечение сферы плоскостью А1PС и получим окружность. Из точек, лежащих внутри окружности, диаметр виден под тупым углом (*), что и требовалось.
(*) Этот планиметрический факт можно доказывать различными способами, например, использовать то, что угол А1РС — внешний для прямоугольного треугольника РЕС (см. рис. 11.3 а).
Для удобства изложения других способов рассуждений рассмотрим произвольную точку P на поверхности куба, отличную от его вершин, и расположенную, например, в грани ABCD .
Второй способ. Пусть F — центр грани ABCD , являющийся проекцией середины O диагонали A1C на грань ABCD (см. рис. 11.3б).
Так как FP 0 . Угол АРС — тупой, так как точка Р лежит внутри окружности с диаметром АС ( ), значит, cos APC 2 =(a-x) 2 +(a-y) 2 , PA1 2 =PA 2 +AA1 2 =x 2 +y 2 +a 2 , A1C 2 =3a 2 . Тогда PA1 2 +PC 2 -A1C 2 = 2x 2 —2ax+2y 2 —2ay = 2x(x-a)+2y(y-a)
| © 2004-. МЦНМО (о копирайте) | Пишите нам |  |
Проект осуществляется при поддержке и .
Источник
СЕКРЕТЫ ЗРЕНИЯ И НАУКА ГЕОМЕТРИЯ
Кандидаты педагогических наук Марина ЕГУПОВА и Наталья КАРПУШИНА.
Что такое угол зрения
Всякий предмет имеет линейные размеры: длину, ширину и высоту. Но как только он попадает в наше поле зрения, то приобретает ещё один размер — угловой. Давайте разберёмся, что это означает. Когда мы смотрим на предмет, то через каждую его точку можно провести от глаза луч, называемый лучом зрения. Понятно, что их будет бесконечно много. Любые два луча зрения образуют угол зрения. Тот угол зрения, под которым предмет виден целиком, и принято называть угловым размером предмета. Как и всякий плоский угол, он измеряется в градусах, минутах, секундах или в радианах.
Понятие углового размера используется в геометрической оптике, геодезии, астрономии. Встречается оно и в геометрии, но здесь принято говорить об угле зрения, под которым из указанной точки «виден» данный отрезок — высота фигуры, её диаметр и пр.
Угловой размер зависит от выбора точки наблюдения, в чём легко убедиться, измерив его из двух точек, расположенных на разном расстоянии от предмета. В зависимости от характера предмета величину угла зрения, под которым он виден, определяют при помощи специальных приборов, например, для измерений на местности используется теодолит, для определения высоты небесных объектов над горизонтом — секстант и т.д.
В древности с той же целью применяли более примитивные инструменты. Один из них — посох Якова, предшественник современного секстанта. Он представлял собой стержень, по которому скользила поперечная рейка; на стержень были нанесены деления, соответствующие некоторым углам (их предварительно измеряли транспортиром). Наблюдатель подносил один конец посоха к глазу, другой направлял в сторону измеряемого предмета и затем перемещал рейку до тех пор, пока она одним концом не «коснётся» линии горизонта, а другим — небесного объекта. После этого оставалось только «снять показания» — посмотреть, какому делению на стержне соответствует рейка. Этот удобный и простой инструмент легко изготовить самому, он вполне годится для примерного измерения углов в любой плоскости.
Наконец, оценить угловой размер предмета можно буквально «голыми руками». Угломером послужит кисть руки, если, конечно, знать некоторые углы. Например, ноготь указательного пальца вытянутой перед собой руки мы видим под углом, приблизительно равным 1 о , кулак — под углом 10 о , а промежуток между концами расставленных большого пальца и мизинца — под углом 22 о .
Угловой размер и расстояние
Угловой размер предмета — величина не постоянная и зависит от расстояния предмета от глаза: чем предмет дальше, тем меньше угол зрения, под которым он виден.
Чтобы понять причину этого явления, вспомним, что на сетчатке глаза изображение предмета получается обратным и уменьшенным. При удалении предмета его изображение на сетчатке становится меньше, поэтому он и кажется нам уменьшающимся. При сокращении расстояния изображение, напротив, увеличивается и предмет кажется увеличивающимся. На языке геометрии это означает, что величина угла зрения обратно пропорциональна расстоянию до предмета.
Такая особенность зрения помогает понять некоторые наши действия и явления вокруг нас. Почему, например, чтобы рассмотреть детали висящей на стене картины или мелкий шрифт на странице книги, приходится подходить к холсту ближе или подносить текст к глазам. Ответ прост: нам необходимо увеличить изображение на сетчатке, а для этого следует увеличить угол зрения, что мы и делаем, уменьшая расстояние до предмета.
Другой пример. Представьте себе две «убегающие» вдаль параллельные линии (железнодорожные рельсы, края прямолинейного шоссе). Они кажутся «сходящимися» в одной точке. Такое же впечатление создают ряды телеграфных столбов или деревьев вдоль дороги. Зрение будто пытается убедить нас в том, что вопреки законам геометрии параллельные прямые пересекаются. Но это лишь иллюзия, которая возникает из-за видимого уменьшения расстояния между прямыми по мере их удаления.
Под одним углом зрения
Часто приходится сталкиваться и с другой ситуацией. Если рассматривать предметы одинаковой формы, но разных линейных размеров под одним и тем же углом зрения, то кажется, что их размеры равны. Это подтверждает простой опыт. Выстройте по росту несколько матрёшек и по-смотрите на них со стороны самой маленькой фигурки, а затем медленно отойдите назад, не изменяя направления взгляда. Вы увидите, как матрёшки начнут «сливаться», загораживая одна другую. Наконец, когда вы отодвинетесь на некоторое расстояние, будет видна только одна матрёшка — ближайшая к вам. Если теперь сместить фигурки в стороны так, чтобы все они были полностью видны, то визуально матрёшки будут казаться одного размера.
Похожее явление можно наблюдать и в природе. Например, при полном солнечном затмении лунный диск в точности заслоняет солнечный. В этот момент наблюдатель с Земли видит оба небесных тела под одним углом зрения. Увидеть такое уникальное явление было бы невозможно, если бы линейные размеры Солнца и Луны, а также расстояния от них до Земли не состояли в определённой математической зависимости.
С точки зрения геометрии в обоих случаях мы имеем дело с подобием фигур, точнее говоря, с гомотетией, с центром, совпадающим с глазом наблюдателя. Поэтому, если два схожих по форме предмета видны под одним углом зрения, то их линейные размеры отличаются во столько же раз, во сколько раз отличаются расстояния до предметов. Таким образом, диаметры Солнца и Луны (D и d) и расстояния от этих тел до Земли (L и l ) связаны простой формулой:
Мы раскрыли далеко не все секреты зрения. Особенности зрения, когда человек смотрит двумя глазами, объяснение некоторых зрительных иллюзий, создание зрительных эффектов в архитектуре и живописи — разговор об этом впереди.
Источник
Урок №2. Перспектива, угол обзора, фокусное расстояние.
| Проявление перспективы на снимках |
Перспектива — явление кажущегося искажения пропорций и формы тел при их визуальном наблюдении. Мы часто видим такие фотографии:
Почему все так искажается? Наш глаз способен воспринимать угловой размер объекта. Если взять два объекта одного линейного размера и расположить их на разном расстоянии, то для наблюдателя ближний объект будет больше дальнего.
Объект при удалении уменьшается и в конце концов превращается в точку на горизонте. Так, стоя на рельсах, мы видим под ногами ближние к нам рельсы реального размера, а дальние в виде точки. Так получаются «сходящиеся» в точке на горизонте рельсы. И наоборот, чем ближе подходим к объекту, тем он кажется больше. Например, при съемке портрета с близкого расстояния можно получить искаженное лицо с очень большим носом.
| Что мы видим без фотоаппарата |
Без фотоаппарата мы тоже видим перспективные искажения, но наш мозг не даёт нам осознать их в полной мере, корректируя их. Зная, что стены дома прямые, мы не чувствуем их наклона. К тому же, рядом со стенами дома у нас нет вертикальных краев кадра, чтобы увидеть насколько наклонены стены.
Строение фотоаппарата и нашего глаза очень похожи. Матрица фотоаппарата играет роль сетчатки глаза, объектив — роль хрусталика. Все, что мы видим, отражается на сетчатке глаза в перевернутом виде. Наш головной мозг исправляет искаженную картину, переворачивая ее. На матрице картинка переворачивается техническими способами.
| Варианты перспективных искажений на фотографиях |
Многие фотографы с успехом используют перспективные искажения, которые позволяют им делать шаржи, акцентировать внимание на какой-то детали, придавать всей фотографии определенный смысл. Но искажения могут и испортить фотографию.
Разница в размерах объектов
Пользуются популярностью и фотографии, где далекий объект кажется настолько маленьким, что его «можно взять в руку».
| Портрет с близкого расстояния |
А вот портреты с близкого расстояния делать не стоит, если только вы не хотите специально сделать шарж. Нос собаки находится ближе к объективу, чем глаза и уши. При дальнейшем приближении к объективу нос увеличивается быстрее, чем глаза и уши, и начинает занимать большую часть фотографии. Отсюда получается сильное искажение пропорций.
| Портрет человека в полный рост |
| Точка съемки на уровне груди. Пропорции человека правильные. | Точка съемки снизу. Пропорции изменены. | Точка съемки сверху. Пропорции изменены. |
| Наклон стен зданий |
Почему же наклоняются здания?
Если при съемке зданий мы будем располагать матрицу фотоаппарата параллельно объекту, то искажений перспективы не будет. Для того, чтобы и матрица фотоаппарата была параллельна объекту, и он весь поместился в кадр, необходимо либо отходить на значительное расстояние, либо снимать здание напротив его центра (с соседнего здания или вися в воздухе). В реальной жизни это труднодостижимо. Поэтому, снимая здания, мы наклоняем фотоаппарат, в этом случае мы можем сфотографировать здание целиком, стоя на земле около него. Но при наклоне фотоаппарата появятся перспективные искажения:
Рассмотрим примеры.
Матрица фотоаппарата параллельна зданию, съемка снизу. Искажений нет, но здание не поместилось в кадр.
Матрица наклонена, съемка снизу. Здание попало в кадр целиком, но есть перспективные искажения.
Шифт-объективы позволяют сохранить параллельность линий зданий за счет сдвига оптической оси объектива относительно матрицы.
Это название группы специальных объективов, обладающих возможностью подвижек относительно кадрового окна фотоаппарата за счёт конструкции оправы и увеличенной кроющей способности. В маркировке объективов, допускающих только сдвиг оптической оси в поперечном направлении, присутствуют буквы PC, означающие управление перспективой (англ. Perspective Control, Perspective Correction). При наличии дополнительной возможности наклона оптической оси, объектив чаще всего маркируется аббревиатурой TS, означающей сдвиг и наклон (англ. Tilt and Shift). В профессиональном обиходе вместо слова «наклон» часто используется «уклон».
Обе разновидности предназначены для коррекции перспективных искажений изменением положения оптического блока относительно фотоплёнки или сенсора. Шифт-объективы стали компактной заменой крупноформатных карданных камер, пригодных для архитектурной и иной технической съёмки, требующей оптической трансформации изображения. В последнее время получили распространение в фотоискусстве и кинематографе для получения различных художественных эффектов.
| Фокусное расстояние и перспектива |
Фотообъективы подразделяют на широкоугольные, стандартные и телеобъективы. Широкоугольные объективы имеют большой угол обзора, ими хорошо снимать пейзажи, чтобы в кадр поместилось как можно больше объектов. Также они незаменимы, если нет возможности далеко отойти от объекта съемки. Телеобъективы помогают при съемке отдаленных или труднодоступных объектов. Стандартные объективы более универсальны.
Чем больше угол обзора у объектива, тем меньше у него фокусное расстояние.
Изменение фокусного расстояния не влияет на изменение перспективных искажений. От фокусного расстояния объектива зависит сюжет, который окажется в кадре. Чем больше мы увеличиваем фокусное расстояние (уменьшаем угол), тем больше мы приближаем объект съёмки.
Если сфотографировать один и тот же предмет широкоугольным и телеобъективом, перспектива изменится, поскольку фотографу придётся перемещаться ближе к предмету съёмки или дальше от него, чтобы получить одинаковый по сюжету кадр. Таким образом, перспективные искажения меняются только с изменением положения фотографа относительно предмета съёмки.
Источник
