Система симметрична что это значит

Что такое симметрия и асимметрия?

Симметрия ассоциируется с гармонией и порядком. И не зря. Потому что на вопрос, что такое симметрия, есть ответ в виде дословного перевода с древнегреческого. И получается, что она означает соразмерность и неизменность. А что может быть упорядоченней, чем строгое определение местоположения? И что можно назвать более гармоничным, чем то, что строго соответствует размерам?

Что означает симметрия в разных науках?

Биология. В ней важной составляющей симметрии является то, что животные и растения имеют закономерно расположенные части. Причем в этой науке не существует строгой симметрии. Всегда наблюдается некоторая асимметрия. Она допускает то, что части целого не совпадают с абсолютной точностью.

Физика. Система тел и изменения в ней описываются с помощью уравнений. В них оказываются симметричные составляющие, что позволяет упростить все решение. Это выполняется благодаря поиску сохраняющихся величин.

Математика. Именно в ней в основном и дается разъяснение, что такое симметрия. Причем большее значение ей уделяется в геометрии. Здесь симметрия — это способность к отображению у фигур и тел. В узком смысле она сводится просто к зеркальному отображению.

Как определяют симметрию разные словари?

В какой бы из них мы ни заглянули, везде встретится слово «соразмерность». У Даля можно увидеть еще и такое толкование, как равномерие и равнообразие. Другими словами, симметричное — значит одинаковое. Здесь же говорится о том, что она скучна, интереснее смотрится то, в чем ее нет.

На вопрос, что такое симметрия, словарь Ожегова уже говорит об одинаковости в положении частей относительно точки, прямой или плоскости.

В словаре Ушакова упоминается еще и пропорциональность, а также полное соответствие двух частей целого друг другу.

Когда говорят об асимметрии?

Приставка «а» отрицает смысл основного существительного. Поэтому асимметрия означает то, что расположение элементов не поддается определенной закономерности. В ней отсутствует всякая неизменность.

В живой природе асимметрия играет важную роль. Причем она может быть как полезной, так и вредной. К примеру, сердце помещается в левую половину груди. За счет этого левое легкое существенно меньшего размера. Но это необходимо.

О центральной и осевой симметрии

В математике выделяют такие ее виды:

• центральная, то есть выполненная относительно одной точки;
• осевая, которая наблюдается около прямой;
• зеркальная, она основывается на отражениях;
• симметрия переноса.

Что такое ось и центр симметрии? Это точка или прямая, относительно которой любой точке тела найдется другая. Причем такая, чтобы расстояние от исходной до получившейся делилось пополам осью или центром симметрии. Во время движения этих точек они описывают одинаковые траектории.

В ситуациях, когда необходимо найти центр симметрии, нужно поступать следующим образом. Если фигур две, то найти у них одинаковые точки и соединить их отрезком. Потом разделить пополам. Когда фигура одна, то помочь может знание ее свойств. Часто этот центр совпадает с точкой пересечения диагоналей или высот.

Какие фигуры являются симметричными?

Геометрические фигуры могут обладать осевой или центральной симметрией. Но это не обязательное условие, существует множество объектов, которые не обладают ею вовсе. К примеру, параллелограмм обладает центральной, но у него нет осевой. А неравнобедренные трапеции и треугольники не имеют симметрии совсем.

Если рассматривается центральная симметрия, фигур, обладающих ею, оказывается довольно много. Это отрезок и круг, параллелограмм и все правильные многоугольники с числом сторон, которое делится на два.

Центром симметрии отрезка (также круга) является его центр, а у параллелограмма он совпадает с пересечением диагоналей. В то время как у правильных многоугольников эта точка тоже совпадает с центром фигуры.

Если в фигуре можно провести прямую, вдоль которой ее можно сложить, и две половинки совпадут, то она (прямая) будет являться осью симметрии. Интересно то, сколько осей симметрии имеют разные фигуры.

К примеру, острый или тупой угол имеет только одну ось, которой является его биссектриса.

Если нужно найти ось в равнобедренном треугольнике, то нужно провести высоту к его основанию. Линия и будет осью симметрии. И всего одной. А в равностороннем их будет сразу три. К тому же, треугольник обладает еще и центральной симметрией относительно точки пересечения высот.

У круга может быть бесконечное число осей симметрии. Любая прямая, которая проходит через его центр, может исполнить эту роль.

Прямоугольник и ромб обладают двумя осями симметрии. У первого они проходят через середины сторон, а у второго совпадают с диагоналями.

Квадрат же объединяет предыдущие две фигуры и имеет сразу 4 оси симметрии. Они у него такие же, как у ромба и прямоугольника.

Источник

Симметрические системы уравнений и системы, содержащие однородные уравнения

Разделы: Математика

Цели урока:

• образовательная: обучение решению систем уравнений, содержащих однородное уравнение, симметрических систем уравнений;
• развивающая: развитие мышления, внимания, памяти, умения выделять главное;
• воспитательная: развитие коммуникативных навыков.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Используемые технологии обучения:

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

За неделю до урока учащиеся получают темы творческих заданий (по вариантам).
I вариант. Симметрические системы уравнений. Способы решения.
II вариант. Системы, содержащие однородное уравнение. Способы решения.

Каждый ученик, используя дополнительную учебную литературу, должен найти соответствующий учебный материал, подобрать систему уравнений и решить её.
По одному учащемуся от каждого варианта создают мультимедийные презентации по теме творческого задания. Учитель при необходимости проводит консультации для учащихся.

Содержание урока

I. Мотивация учебной деятельности учащихся

Вступительное слово учителя
На предыдущем уроке мы рассматривали решение систем уравнений методом замены неизвестных. Общего правила выбора новых переменных не существует. Однако, можно выделить два вида систем уравнений, когда есть разумный выбор переменных:

• симметрические системы уравнений;
• системы уравнений, одно из которых однородное.

II. Изучение нового материала

Учащиеся II варианта отчитываются о проделанной домашней работе.

1. Демонстрация слайдов мультимедийной презентации «Системы, содержащие однородное уравнение» (презентация 1).

Учащиеся записывают в тетради:

2. Работа в парах учащихся, сидящих за одной партой: учащийся II варианта объясняет соседу по парте решение системы, содержащей однородное уравнение.

Отчёт учащихся I варианта.

1. Демонстрация слайдов мультимедийной презентации «Симметрические системы уравнений» (презентация 2).

Учащиеся записывают в тетради:

2. Работа в парах учащихся, сидящих за одной партой: учащийся I варианта объясняет соседу по парте решение симметрической системы уравнений.

III. Закрепление изученного материала

Работа в группах (в группу по 4 ученика объединяются учащиеся, сидящие за соседними партами).
Каждая из 6 групп выполняет следующее задание.

Определить вид системы и решить её:

Учащиеся в группах анализируют системы, определяют их вид, затем, в ходе фронтальной работы обсуждают решения систем.

симметрическая, введем новые переменные x+y=u, xy=v

содержит однородное уравнение.

Пара чисел (0;0) не является решением системы.

IV. Контроль знаний учащихся

Самостоятельная работа по вариантам.

Решите систему уравнений:

Учащиеся сдают тетради учителю на проверку.

V. Домашнее задание

1. Выполняют все учащиеся.

Решите систему уравнений:

2.Выполняют «сильные» учащиеся.

Решите систему уравнений:

VI. Итог урока

Вопросы:
С какими видами систем уравнений вы познакомились на уроке?
Какой способ решения систем уравнений применяется при их решении?

Сообщение оценок, полученных учащимися в ходе урока.

Источник

Система симметрична что это значит

Рациональной основной системой для заданной статически неопределимой конструкции является такая система, при которой наибольшее число побочных коэффициентов канонических уравнений обращается в нуль. Чем больше коэффициентов канонических уравнений равно нулю, тем, очевидно, проще и легче решить эти уравнения.

Упрощать решения задачи раскрытия статической неопределимости можно использованием симметричных и обратно симметричных стержневых систем. Отметим, что внутренние силовые факторы в сечении бруса можно также разделить на симметричные и обратно симметричные. К симметричным силовым факторам относятся изгибающие моменты и нормальные силы так как в двух смежных сечениях бруса они симметричны относительно плоскости разреза (рис. 8.7), а к обратно (косо) симметричным относятся перерезывающие силы и крутящие моменты поскольку они обратно симметричны относительно плоскости разреза.

Первая группа силовых факторов вызывает симметричные, а вторая — обратно симметричные относительно плоскости разреза деформации прилегающих к разрезу частей бруса.

Рассмотрим сначала особенности симметричных стержневых систем. Геометрически симметричная стержневая система с нагрузкой, симметричной относительной той же оси (плоскости), называется симметричной.

Вследствие полной симметрии такая система имеет симметричный вид и после деформации. Следовательно, перемещения симметричных сечений симметричны по направлению. Это означает, что в симметричных сечениях симметричной системы одноименные силовые факторы (а в опорных сечениях — опорные реакции) равны по величине и симметричны по направлению.

Если разрезать симметричную систему по оси (плоскости) симметрии, то нетрудно заметить, что обратно симметричные внутренние силовые факторы в этом сечении должны быть равны нулю. Действительно, обратно симметричные силовые факторы будут вызывать обратно симметричные деформации, которые противоречат характеру деформаций симметричной системы. Таким образом, в сечении по оси симметрии симметричной системы крутящие моменты и перерезывающие силы всегда равны нулю.

Покажем справедливость этих выводов на примере плоской симметричной рамы (рис. 8.8). Эта рама представляет собой плоский замкнутый контур и является трижды статически неопределимой системой. Выберем основную систему разрезом по оси симметрии. Допустим, что все внутренние силовые

факторы — изгибающие моменты нормальные силы и перерезывающие силы — отличны от нуля.

Раскрывая статическую неопределимость задачи методом сил, запишем систему канонических уравнений

Для вычисления ее коэффициентов построим эпюры изгибающих моментов от заданной и единичных нагрузок (см. рис. 8.8).

Эпюры от заданных нагрузок, изгибающих моментов и нормальных сил симметричны, а от перерезывающих сил — обратно симметричны. Произведение симметричной эпюры на обратно симметричную равно нулю, поэтому коэффициенты канонических уравнений

В результате система канонических уравнений принимает вид

Коэффициент отличен от нуля и поэтому перерезывающая сила равна нулю.

Итак, в сечении по оси симметрии симметричной стержневой системы обратно симметричные силовые факторы равны нулю.

Вычисляя остальные коэффициенты канонических уравнений, получаем

и, решая систему канонических уравнений, находим

Суммарная эпюра изгибающих моментов симметрична относительно оси симметрии рамы, так как ее ординаты представляют собой суммы ординат симметричных эпюр и «2» (ординаты двух последних увеличиваются соответственно в раз). Таким образом, подтверждено и второе свойство симметричных систем: силовые факторы в симметричных сечениях симметричной стержневой системы равны по величине и симметричны по направлению.

Итак, основную систему в симметричных конструкциях надо выбирать путем удаления лишних связей на оси симметрии и следить за тем, чтобы и эквивалентная система была симметричной (только при этом условии реализуются свойства симметричных систем). Если в конструкции имеется стержень, направленный вдоль оси симметрии, то основную систему надо выбирать путем удаления лишних связей в симметричных сечениях.

Пример. Решить раму, представленную на рис. 8.9.

Решение. Если не использовать свойств симметричных систем, то для раскрытия статической неопределимости потребовалось бы решать систему из шести линейных алгебраических уравнений. Использование свойств симметрии упрощает решение задачи.

Один из стержней рамы совпадает с вертикальной осью симметрии. Поэтому основную систему выберем разрезом боковых стержней рамы по горизонтальной оси симметрии. Чтобы эквивалентная система была симметричной, внешние силы Р отнесем равными частями к обеим сторонам разреза.

В силу симметрии рамы относительно вертикальной оси силовые факторы в проведенных сечениях равны по величине и противоположны по направлению, а

вследствие симметрии относительно горизонтальной оси перерезывающие силы в этих сечениях равны нулю.

Система канонических уравнений имеет вид

Перемножая эпюры (см. рис. 8.9), находим коэффициенты этой системы ;

Решение канонических уравнений дает Суммарная эпюра приведена на рис. 8.9.

Рассмотрим теперь обратно симметричные стержневые системы.

Геометрически симметричные стержневые системы с нагрузкой, обратно симметричной относительно оси (плоскости) симметрии системы, называются обратно симметричными, или косо симметричными.

Перемещения симметричных сечений такой системы и одноименные внутренние силовые факторы в них равны по величине и обратно симметричны по направлению. В сечении на оси симметрии симметричные силовые факторы всегда равны нулю, так как они вызывают симметричные деформации, не соответствующие характеру деформаций от заданной нагрузки.

Подтвердим изложенное на примере плоской обратно симметричной рамы (рис. 8.10). Выберем основную систему разрезом рамы по оси симметрии и построим эпюры изгибающих моментов от заданных нагрузок и единичных усилий, приложенных вместо искомых силовых факторов (см. рис. 8.10).

Составим канонические уравнения

и вычислим коэффициенты этой системы способом Верещагина.

Так как произведение симметричной эпюры на обратно симметричную равно нулю, то

Итак, система канонических уравнений распадается на две группы:

Вторая группа представляет собой систему линейных однородных уравнений, определитель которой отличен от нуля. Отсюда следует, что нормальная сила и изгибающий момент в сечении но оси симметрии рамы равны нулю.

Итак, подтверждено, что в сечении по оси симметрии обратно симметричной стержневой системы симметричные силовые факторы — изгибающие моменты и нормальные силы равны нулю и могут действовать только обратно симметричные силовые факторы. А это означает, что в симметричных сечениях (в том числе и опорных) обратно симметричных стержневых систем силовые факторы равны по величине и обратно симметричны по направлению.

Использование в расчетах отмеченных свойств обратно симметричных систем позволяет существенно упростить решение задачи.

Для рассматриваемой на рис. 8.10 задачи коэффициенты канонического уравнения будут:

и, согласно первому уравнению,

Суммарная эпюра изгибающих моментов имеет обратно симметричный вид (см. рис. 8.10).

Пример. Решить раму, представленную на рис. 8.11,

Решение. Согласно свойству обратно симметричных рам, одноименные опорные реакции равны по величине и противоположны по направлению.

Следовательно,

Эпюра показана на рис. 8.11.

Пример. Раскрыть статическую неопределимость рамы, представленной на рис. 8.12.

Решение. Данная рама обратно симметрична. В этом нетрудно убедиться, представив распределенную нагрузку так, как показано на рис. 8.12. Основную систему получим, сняв горизонтальные связи в нижних шарнирных опорах. В данном случае в. качестве основной выбрана, вообще говоря, статически неопределимая система. Однако при обратно симметричной нагрузке опорные реакции в катковых опорах будут равны по величине и противоположны по направлению и их можно определить, из уравнения равновесия.

Коэффициенты канонического уравнения найдем перемножением эпюр:

Тогда

Суммарная эпюра представлена на рис. 8.12.

Остановимся теперь на особенностях расчета центрально симметричных (рис. 8.13) и центрально обратно симметричных (рис. 8.14) рам. В первом случае при повороте одной половины рамы вокруг центра симметрии на 180° внешние силы Р совпадают по направлению, а во втором — окажутся противоположны по направлению.

Разрежем обе рамы по центру симметрии и представим себе характер деформации этих рам под действием сил Р. Из рис. 8.13 видно, что сечения рамы в месте разреза не поворачиваются друг относительно друга, а только расходятся в вертикальном и горизонтальном направлениях. Это означает, что в сечении изгибающие моменты равны нулю и действуют только нормальные и перерезывающие силы

В таких же сечениях второй рамы (см. рис, 8.14), наоборот, должны действовать изгибающие моменты и будут отсутствовать нормальные и перерезывающие силы, так как эти сечения только поворачиваются друг относительно друга.

В центрально симметричных и обратно симметричных рамах основную систему следует выбирать удалением лишних связей в сечении по центру симметрии.

В смешанных статически неопределимых конструкциях при выборе основной системы следует сначала разрезать тяги и пружины и только после этого удалить лишние связи в элементах рамного типа.

Пример. Определить усилие в тягах и построить суммарную эпюру изгибающих моментов для рамы, представленной на рис. 8.15, если

Решение. Вследствие симметрии рамы относительно вертикальной оси усилия в тягах будут равны по величине и симметричны по направлению. Эквивалентная система и эпюры от заданной нагрузки и единичных сил показаны на рис. 8.15. Вычисляя коэффициенты канонического уравнения по формуле

Следовательно, нормальные силы в тягах

Суммарная эпюра приведена на рис. 8.15. Там же приведены значения нормальных сил в тягах.

Источник